空间向量

空间向量部分知识点，空间向量知识点总结，包括与平面向量相同，与平面相量不同的知识点梳理，帮助小伙伴快速掌握空间向量的内容要点！

空间向量

• 与平面向量相同
  • 模
  • 零向量
  • 单位向量
  • 相反向量
  • 相等向量
  • 加法运算
  • 减法运算
  • 数乘运算
  • 数量积
  • 共线定理
  • 坐标表示
    • 空间向量基本定理：也就是说若存在三个向量a，b，c不共面且任意两两向量不共线，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}使得p=xa+yb+zc
    • 坐标：由空间向量基本定理可得任意空间向量都可以由三个两两不共线的向量作为基底来表示，于是我们规定了空间直角坐标系，以相互垂直的xyz三个方向的向量来表述一个向量的坐标
    • 运算：与平面向量运算完全类似，只是多了Z轴
• 与平面向量不同
  • 共面向量
    • 定义：平行于同一个平面的向量
    • 共面定理：如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使 p=xa+yb
  • 方向向量
    • 定义：空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。
    • 求法：直线上任意一个向量或平行于直线的任意直线上的任意向量
  • 法向量
    • 定义：如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
    • 性质
      • ①与该面内的任何一个向量都垂直
      • ②一个平面有无数个法向量它们互相平行
    • 求法
      • ①设平面α的法向量为n＝（x，y，z）
      • ②选取面内任意已知坐标的向量a，b
        • a，b的坐标以末位置坐标减初位置坐标得到
      • ③由于n⊥a，b因此得到两方程组
        • n·a＝0
        • n·b＝0
      • ④赋值，给xyz中的任意一个未知数赋上一个非零的值
      • ⑤得到面α的一个法向量
    • 用处
      • 平行
        • 线线平行：a∥b(b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
        • 线面平行：若平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，则直线a∥平面α⇔a⊥n.
        • 面面平行：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α∥β⇔n1∥n2.
      • 垂直
        • 线线垂直：a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2 =0；或若直线a的方向向量为a，直线b的方向向量为b，a⊥b⇔a·b=0
        • 线面垂直：若平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，则直线a⊥平面α⇔a∥n.
        • 面面垂直：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α⊥β⇔n1⊥n2.
      • 夹角
        • 直线与直线所成的角：设异面直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2，则l1与l2所成角θ满足cos θ＝|cos〈n1，n2〉|；
        • 直线与平面所成的角：设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足cos θ＝|cos〈m，n〉|；
        • 平面与平面所成的角：
          • AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，它们的向量分别为m，n，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈m，n〉
          • n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉（θ＜90°）或－cos 〈n1，n2〉（θ＞90°）。