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数学北师大版五年级上册第五单元-分数的意义(教案版)
数学北师大版五年级上册第五单元-分数的意义(教案版)。知识点包括认识真分数假分数带分数以及理解它们的意义，分数与除法的关系，分数的基本性质，找最大公因数，约分，找最小公倍数，通分，分数比较大小等。每个小节知识点详细，逻辑清晰，包括知识的教授过程与方法、详细的举例、知识点分类与总结。适合学生学习与老师备课
编辑于2022-08-11 20:22:38 广东- 分数的意义
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小学数学五年级上册第五单元 分数的意义
分数的再认识(一)
导入
师：今天我们学习的是“分数的再认识”,看着课题,你觉得哪个字很特别呢?为什么要加个“再”字,我们以前对分数已经有了哪些认识呢?你能举出一些分数吗?
师：用分数表示下图的阴影部分,并试着说出这个分数表示的意义
师：以前我们学习了分数的初步认识,今天,我们要继续来研究分数的意义〔板书:分数的再认识(一)〕
探究新知
①认识分数的意义
师:我们以前学过“一半”可以用1/2表示，那么3/4表示什么呢?可以举例说一说
生1:把一张纸平均分成4份，其中的3份可以用3/4表示
生2:画出4个三角形，其中的3个可以用3/4表示
生3:有12根骨头,每3个一份,可以分成4份，其中的3份也就是把其中的9根圈起来,也可以用3/4表示
师:上面几个例子分别是把一张纸、4个三角形、12根骨头看作一个整体，平均分成4份,其中的3份都可以用3/4表示。不同的是第三个，一份的数量是4，但最后都用3/4表示，所以我们看的是份数
知识回顾
分数的意义一
把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示
整体被分成几份分母就是几，表示其中几份分子就是几。一个整体可以是单个图形， 可以是多个图形
分数的意义二
分数表示了部分与整体的关系，即部分是/占整体的几分之几
整体有几份分母就是几，部分有几份分子就是几。当1个数量为一份时，整体数量是几分母就是几，部分数量是几分子就是几
师：根据例子大家能分别说说谁占谁的几分之几吗？
②分数对应的"部分”不同，整体则不同
师:原来的图形是什么样子呢?你能画出这个图形吗?
学生讨论后画出图形，指名让学生展示自己画的图形。对于画得正确的，教师给予充分肯定，并让学生说一说为什么要这样画
师:同学们画出的图形形状各不相同,哪些是正确的?为什么会出现不同的图形呢?
学生讨论后回答形状虽然不同,但都是由8个小方格组成的，把这8个小方格看成一个整体,平均分成4份，其中的一份都可以用1/4表示
师小结
同一个分数表示的“部分”相同时，"整体"的数量也相同,但形状不一定相同
师：如果图形1的1/4是两个小方格，图形2的1/4是1个小方格，图形1和2的小方格总个数会一样吗？
生：不一样
师：为什么呢？
生：1份表示的量不同，部分不同所以整体也不同
师小结
同一个分数，部分不同，对应的整体的数量也不同
③分数对应的"整体”不同，部分则不同
师：老师这儿有三盒铅笔,你们能从每一盒铅笔中分别拿出全部的1/2吗?老师请三位学生到讲台前，并问台上的学生:你们准备怎么拿呢?(我准备把全部铅笔平均分成2份，拿出其中的一份就是1/2
师:其他同学注意观察你们发现了什么?（讲台前的三位学生打开铅笔盒，认真地数着）
师:你有什么疑问?为什么他们三人都是拿全部铅笔的1/2，拿出的支数却不一样多呢?请大家先自己想一想，然后小组交流一下
学生汇报
大家都认为每盒的总支数不一样，所以三位同学拿出铅笔的支数不同
师：是不是这样呢?现在请刚才的三位同学把盒子里所有的铅笔拿出来,告诉同学们你们各自盒子里铅笔的总支数分别是多少
生A盒子里全部的铅笔是6支，全部铅笔的1/2是3支
生B:盒子里全部的铅笔是8支，全部铅笔的1/2是4支
生C:盒子里全部的铅笔是10支，全部铅笔的1/2是5支
师板书
6支的1/2→3支；8支的1/2→4支；10支的1/2→5支
师补充：假设共有100支铅笔，它的1/2是多少?（50支），请同学们认真观察这组数据，你发现了什么?(或者说什么在变,而什么没有变呢?)
师小结
同一个分数，整体不同，对应的部分的数量也不同
④小结
知识回顾
分数的意义一
把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示
一个整体可以是单个图形， 可以是多个图形
分数的意义二
分数表示了部分与整体的关系，即部分是/占整体的几分之几
同一个分数表示的“部分”相同时，"整体"的数量也相同,但形状不一定相同
同一个分数，部分不同，对应的整体的数量也不同
同一个分数，整体不同，对应的部分的数量也不同
巩固练习
收获总结
重点:认识“一个整体”的几分之几的真正含义,体会一个分数对应的“整体”不同,所表示的具体数量也不同,进一步加深对分数的认识
难点:结合具体情境,体会“整体”与“部分”的关系,感受分数的相对性
分数的再认识(二)
导入
师：分数的意义是什么?
师：课前我们都剪下了教材附页3中图1的纸条，用纸条量一量我们的数学书的长和宽，看能量几次，你发现了什么?
生1:量宽时,正好3次量完，说明教材的宽的长度是纸条长度的3倍，说明教材的宽有3个纸条长度那么长
生2:量教材的长时，量了4次还剩下一段，说明教材的长是纸条长度的4倍多一些
师：剩下的怎么办呢?小组讨论一下
探究新知
①分数单位
学生讨论，然后用纸条接着量教材的长
师：我们可以把纸条对折去量，对折后纸条的长度是原来的一半,也就是原来的1/2。还是不能正好量完，再对折现在的纸条的长度是原来的1/4，差不多能正好量完。所以教材的长有4个纸条的长度加纸条长度的1/2再加纸条长度的1/4那么长
师:下面是一个"分数墙”,你能填出空格中的数吗?
学生独立填完空格中的数，对于有困难的学生，教师给予指导提示学生找到规律后再填
师：填完后，想一想,你发现了什么?
生："分数墙”从上面数第一层是1,这里是把一行的长度看作一个整体;第二行是把一个整体平均分成了2份,其中的1份是1/2。第三行是把一个整体平均分成了3份，其中的1份是1/3。由此往下看，第几行就是平均分成了几份，其中的一份就是整体的几分之一
生：从“分数墙”上还可以看到,把整体平均分的份数越多，其中的1份就越少，也就是说分子都是1,分母越大，这个分数就越小，如1/2＞1/3，1/3＞1/4........
生：把一行的长度看作整体"1",平均分成若干份，其中的1份就是几分之一，几份就是几分之几
师:观察上面的这些分数，它们都有什么特点?
生1:都是把一个整体平均分成若干份，表示其中的1份
生2:分子都是1
师：像1/2,1/3,1/4,1/5……这样的分数叫作分数单位，或者分子为1的分数叫作分数单位
它表示把整体平均分成若干份,取其中的一份
师：分数单位是分数的基本组成部分，任何一个分数都可以看出是由若干个分数单位组成的
师：分数比较大小
分子相同，分母越大，分数越小。分母相同，分子越大，分数越大
（根据分数的意义来记忆）
②小结
分数单位
含义
像1/2,1/3,1/4,1/5……这样的分数叫作分数单位
分子为1的分数叫作分数单位
意义
它表示把整体平均分成若干份,取其中的一份
分数与分数单位
分数单位是分数的基本组成部分，任何一个分数都可以看出是由若干个分数单位组成的
分数比较大小
分子相同，分母越大，分数越小。分母相同，分子越大，分数越大
巩固练习
收获总结
重点:认识分数的分数单位,理解分数单位的意义,能熟练找到一个分数的分数单位
难点:理解分数单位的意义,能熟练找到一个分数的分数单位
分饼
导入
师：在唐僧师徒4人西天取经的路上,有一天,八戒化了5张饼回来,4个人怎样平均分这5张饼呢?这下可难坏了八戒。同学们,你们有什么好办法来帮帮八戒?
探究新知
①
师：应该怎么平均分呢？小组讨论一下，利用手中的5张圆形纸片和剪刀，剪一剪，拼一拼
全班交流方法
方法一:先分4张饼，每人1张;再分剩下的1张，把1张饼平均分成4份,每人是1/4张，加上原来分的1张，每人一共分得1张和1/4张
师：1张和1/4张，你们能用圆形卡片和彩笔表示出来吗？
师：这里的1和1/4可以用一个分数来表示
像这样有一个整数还带着一个分数的数叫带分数，读作一又四分之一(板书:带分数)。它是由一个整数和以前学的分数合成的
师：一又四分之一怎么理解它的意义呢
表示1个整体和这一个整体的1/4
第二种分法:把5张饼一张一张分，第一张每人分得1/4张;第二张每人分得1/4张，这样接着分下去，每人共分得5个1/4张
师：5个1/4是多少呢？
生：5/4
师:这个分数有什么特点?与我们以前学过的分数有什么不同?
生1:分子比分母大，以前学过的分数都是分子比分母小
师：我们以前学的分子比分母小的分数是真分数。这里的分子比分母大的以及分子等于分母的都是假分数。即真分数：分子＜分母。假分数：分子≥分母
师：5/4它表示的意义是什么呢?它表示把一个整体平均分成4份，其中的1份用1/4表示，这样的5份用5/4表示
师：两种分法得出的结果其实是相等的
带分数与假分数可以互换，带分数是假分数的另一种书写形式。总之真分数：分子＜分母；假分数：分子≥分母。大家再举几个真分数、假分数和带分数的例子吧（师详细讲解分数的分类）
师：大家能说说3/5，4/5，6/5，8/5这几个分数的意义吗
学生回答
师：如果我们按照之前学的分数的意义理解，6/5，即把整体平均分成5份表示其中的6份用6/5，可能大家会觉得说法有误，总共才5份怎么有了6份
师：所以学了真分数后我们以后这么理解分数的意义：把一个整体平均分成几份，其中的一份是几分之一，像这样的几份，可以用分数表示
师：把一个整体平均分成5份，其中的一份用1/5表示，像这样的3份用3/5表示；像这样的4份用4/5表示；像这样的6份用6/5表示；像这样的8份用8/5表示
生：表示4个整体和这一个整体的3/5
师：大家知道带分数的意义了吗
生：表示几个整体和一个整体的几分之几
小结
分数的分类
带分数由一个整数和一个真分数组成
真分数：分子＜分母；假分数：分子≥分母
分数的意义
把一个整体平均分成几份，其中的一份是几分之一，像这样的几份，可以用分数表示
带分数的意义
表示几个整体和一个整体的几分之几
②
师:图中淘气说得对吗?为什么?
师：5张饼平均分给4个人，每人至少分得1张多，淘气认为每人分得5/20张，不足1张，所以是不正确的。淘气在这里把单位“1”/整体弄错了，他把5张饼合在一起看作单位“1”，平均分成20份，每人分得5份就是5/20。这里应该是把每张饼看作单位1/一个整体，分到结果是1我们知道是这样的1张饼，一又四分之一我们知道是1张饼加1张饼的1/4，我们都是以1张饼为整体的看这个结果，应以一张饼为整体。每人每张饼分得1/4张，5个1/4张就是5/4张
③
真分数都小于1，假分数等于1或大于1
巩固练习
平均每人分到3/4块月饼
收获总结
分数的分类
带分数由一个整数和一个真分数组成
真分数：分子＜分母；假分数：分子≥分母
真分数都小于1，假分数等于1或大于1，带分数都大于1
在分饼的情境中理解真分数、假分数和带分数的意义
分数的意义
把一个整体平均分成几份，其中的一份是几分之一，像这样的几份，可以用分数表示
带分数的意义
表示几个整体和一个整体的几分之几
明确假分数和带分数的关系
带分数与假分数可以互换，带分数是假分数的另一种书写形式
分数与除法
导入
师：请同学们计算下面各题,你能把商分为哪几类?
36÷6= 4÷5= 80÷5= 3÷7= 5÷10= 4÷9=
然后引导学生归纳分类
36÷6=6和80÷5=16的商为整数
4÷5=0.8和5÷10=0.5的商为有限小数
3÷7和4÷9的商为循环小数
师指出:两个自然数相除,不能整除的时候,它们的商可以用分数来表示。今天我们就来学习这部分内容:分数与除法(板书:分数与除法)
探究新知
①分数与除法
师出示例题：把1块蛋糕平均分给2个小朋友,每人可以分几块蛋糕?
生：把1块蛋糕看作一个整体，平均分成2份，符合分数的意义。用分数表示为每人分到1/2块蛋糕
师：你能列出式子吗？
生：把1块蛋糕平均分给2个小朋友,这是一个平均分的问题,符合除法的意义,可以用除法计算,列出算式为1÷2
师：从同学们的回答中，我们可以看到,1÷2=1/2(块)，每人可以分1/2块蛋糕
师：如果把7块蛋糕平均分给3个小朋友呢?
生：
师：你发现分数与除法有什么关系?与同伴说一说
学生回答
师：两个数相除，它们的结果可以用分数表示，被除数相当于分子，除数相当于分母，÷相当于分数线
师：你能用字母表示分数与除法之间的关系吗?
师：用字母a表示被除数,用字母b表示除数(除数不能为0),除法算式可以表示为a÷b，它们的结果可以用分数表示，被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母,除法中的除数不能为0，同样分数的分母也不能为0
师：你能再举一个例子吗？
②假分数和带分数的互化
师：我们学过的分数有真分数、假分数和带分数，其中真分数都小于1，假分数等于1或大于1，带分数都大于1。分数和带分数可以进行互化
师：我们在学习分数和带分数之间的互化时，我们先来看整数怎么化成分数
师：这些整数会化成的什么分数呢？
生：这些整数都大于等于1，化成的分数应该是假分数
师：怎么化呢？同学们可以先思考思考（老师可以提示分数与除法的关系）
师：1就是分子与分母相同的分数，后面的大家怎么化的呢？谁来分享一下
学生回答
师：2=（）/3，我们可以把分数想成除法算式，相当于（）÷3=2，所以（）里填6。分子相当于被除数，被除数=除数×商
师：所以整数化成假分数，分母确定后，用整数和分母的积作分子
生:2 1/3可以分成2和1/3,1里面有3个1/3,2里面就有3x2=6个1/3,再加上1个是7个1/3，结果就是7/3
师：然后怎么做呢？
生：把整数2化成分数然后与1/3相加
师：把2化成用几作分母的分数？
生：它要和1/3相加，我们学过同分母分数相加，所以化成3作分母的分数
师小结
带分数化成假分数,分母不变，用整数乘分母再加上分子的数作分子
练习
师：怎样把7/3化成带分数?
学生讨论后回答(是7个1/3可以看作是6个1/3加1个1/3，6个1/3是2,加1个1/3是2 1/3
师：同学们可以以一个圆为整体，将圆涂色表示出7/3这个分数吗？
生：
师：7/3表示什么意义
生：表示将一个整体平均分成3份，其中的一份是1/3，像这样的7份是7/3
师：同学们可以利用它的意义用圆表示出这个分数
师小结
假分数化成带分数，用分子除以分母，所得的商作带分数的整数，分母不变，用余数作分子
练习
适当检查
③
师：怎么做呢？蓝纸条的长与红纸条的长有什么关系？
生：用蓝纸条去量红纸条，正好量了3次，蓝纸条的长是红纸条的1/3。蓝纸条的长=红纸条长的1/3
师：所以蓝纸条的长是红纸条长的1/3
师：这种题还可以用除法计算，求谁是谁的几分之几，就用谁除以谁，结果用分数表示
师小结
求a是b的几分之几？
a÷b=a/b
例
生1：黄纸条的长是红纸条的4/3，也就是把红纸条平均分成了3份，黄纸条长相当于这样的4份
生2：
④小结
分数与除法的关系
带分数化成假分数
带分数化成假分数,分母不变，用整数乘分母再加上分子的数作分子
假分数化成整数或带分数
根据分数与除法的关系，用分子除以分母
如果能除得尽，是整数且没有余数，商就是所要化成的整数
如果有余数，不能整除时，所得的商作带分数的整数，分母不变，余数作分子
求a是b的几分之几？
a÷b=a/b
巩固练习
收获总结
重点:理解分数与除法的关系,会用分数表示两个数相除的结果
难点:假分数和带分数的互化
分数基本性质
导入
师：直接写出得数
120÷30=
(120×3)÷(30×3)=
(120÷10)÷(30÷10)=
(120÷0.125)÷(30÷0.125)=
师:同学们计算时的依据是什么?
生:商不变的性质
师：什么是商不变的性质?
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变,这就是商不变的性质
师：分数与除法关系密切,除法中有商不变的性质,分数的分子、分母的变化也有这种规律,这个规律就是分数的基本性质。这节课我们一起来学习分数的基本性质(板书课题:分数基本性质)
探究新知
①
师：师傅给3只小猴准备了3张同样大的饼吃，师傅把第一张饼平均分成2块，给了第一只小猴1块;把第二张饼平均分成了4块，给了第二只小猴2块;把第三张饼平均分成8块，给了第三只小猴4块。第一只小猴气的哇哇大哭，第二只小猴子也不太高兴，他们都说师傅不公平了。师傅公平吗?你怎么看?说说你的想法
师：请用这一个长方形表示整块饼，然后用涂色部分表示出每只猴子分到的饼，并用分数表示出来
师：师:你能得到哪些分数?说一说得到这些分数的过程
生1:第一只猴子把整体平均分成2份，涂色部分表示分到了其中的1份，用分数表示是1/2
生2：第二只猴子把整体平均分成4份，涂色部分表示分到了其中的2份，用分数表示是2/4
生2：第三只猴子把整体平均分成8份，涂色部分表示分到了其中的4份，用分数表示是4/8
师：看涂色部分你们发现了什么？
生：它们分到的饼一样多
师：这几个分数对应的整体都是这一个长方形，对应的部分是各自分到的饼也一样大说明了这几个分数之间有什么大小关系？
师：是的，整体一样时，只有分数相同时，部分才一样
师：我们再看一个例子，用分数分别表示下列涂色部分
师:你能得到哪些分数?说一说得到这些分数的过程
生1:第1幅图把整体平均分成4份，涂色部分是其中的3份,用分数表示是3/4
生2:第二幅图把整体平均分成8份，涂色部分是其中的6份,用分数表示是6/8
生3:第三幅图把整体平均分成16份，涂色部分是其中的12份,用分数表示是12/16
师:这些分数都是把一个长方形着作一个整体，比较三幅图涂色部分的大小，它们相等吗?
生:它们是相等的
师：所以
②
师：从左往右观察上面相等的分数，你发现了什么规律?
生1：第一组1/2的分子和分母同时乘2得2/4，1/2=2/4
生2：第一组2/4的分子和分母同时乘2得4/8，2/4=4/8
生3：第一组1/2的分子和分母同时乘4得4/8，1/2=4/8
师：根据你们的发现能得出什么结论吗？
生：分数的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变
师：从右往左观察上面相等的分数，你发现了什么规律?
生1：第一组4/8的分子和分母同时除以2得2/4，4/8=2/4
生2：第一组2/4的分子和分母同时除以2得1/2，2/4=1/2
生3：第一组4/8的分子和分母同时除以4得1/2，4/8=1/2
师：根据你们的发现能得出什么结论吗？
生：分数的分子和分母同时除以相同的数（0除外），分数的大小不变
小结
师：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。这就是分数的基本性质
师：为什么0要除外
师：我们一起来验证下这个规律
师：还记得商不变的规律吗
生：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变
师：大家能理解分数的基本性质和商不变的性质大致上是相通的吗
两个数相除可以等于一个分数，被除数相当于分子，除数相当于分母。被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。相当于分数中的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变
③练习
根据分数的基本性质，你能写出几个相等的分数吗?
运用分数的基本性质能写出无数个分母不同而大小相等的分数
④小结
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变
运用分数的基本性质，可以把一个分数化成指定分母的分数,也可以把分母不同的分数化成分母相同的分数
巩固练习
收获总结
重点:理解并掌握分数的基本性质,知道分数的基本性质与除法中商不变的规律之间的联系
难点:运用分数的基本性质进行分数的改写
找最大的公因数
导入
师：你还记得怎样找一个数的因数吗?我们在第三单元的时候学习了找一个数的因数,下面我们来进行一个找因数的比赛,好吗?同桌互相比赛,一个找出12的全部因数,另一个找出18的全部因数,看看谁找得又对又快
探究新知
①认识公因数
师:你是怎样找的?
方法一
12=1×12=2×6=3×4
18=1×18=2×9=3×6
方法二
12÷1=12,12÷2=6,12÷3=4
18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6
(板书:12的因数为1,2,3,4,6,12；18的因数为1,2,3,6,9,18)
师:从12和18这两个数的因数中找一找相同的因数有哪几个,你是怎样找出的?
生1:把12和18的所有因数都找出来,把相同的因数圈起来
生2:主要看12的所有因数中有哪些是18的因数,就是12和18相同的因数
师:12和18相同的因数有哪些?
生:有1,2,3,6
师：1,2,3,6这几个数既是12的因数,又是18的因数,这几个数是它们的公因数
师：几个数共有的因数叫这几个数的公因数
师：12和18的公因数中哪个是最大的?
生:6是最大的
师：公因数中最大的一个是它们的最大公因数
师:我们还可以用集合的方法表示12和18的因数及它们的公因数
师：图中左边圈里是12的因数,右边圈里是18的因数
师：你们知道它们相交重合的地方表示什么意思吗？
学生回答
师：两个圈重合的部分指既是12的因数,又是18的因数，就是12和18的公因数
师：请同学们在书上的这两个集合中分别填入12和18的全部因数
学生填空:12和18的公因数有( ),12和18的最大公因数是( )
②找最大公因数的方法
师：认真观察并说一说，你是用什么办法找出各组数的公因数和最大公因数?
学生回答
列举法
①先找出各组中每个数的因数
②再从每个数的所有因数中找出它们的公因数和最大公因数
倍数关系
如果一组中的两个数本身就存在倍数与因数的关系。那么较小数的所有因数就是这两个数的公因数，较小的那个数就是它们的最大公因数
互质关系
含义
两个非零自然数，公因数只有1，并且1也是它们的最大公因数。这两个数叫作互质数，或者说这两个数互质，是互质关系
典型例子
两个不同的质数，为互质数
如：7和11
1和任何自然数，为互质数
如：1和24
任何相邻的两个数互质
如：7和8
一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时，为互质数
如：2和15
分解质因数法
含义
把一个合数写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数分解成若干个质因数相乘的过程叫分解质因数
找最大公因数
把两个数都分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
如18和12
18=2×3×3 12=2×2×3
它们共有的质因数是2和3，最大公因数是2×3=6
如24和60
24=2×2×2×3 60=2×2×3×5
它们共有的质因数是2、2和3，最大公因数是2×2×3=12
用短除法分解质因数
这是短除符号，就是倒过来的除号。短除符号里面放被除数，要将哪个数进行分解质因数，哪个数就放里面作为被除数
短除号侧面写除数，并且除数要是质数（质数一般从小到大试）
它们的商写在短除符号的下面，被除数的下面，短除一直要除到商是质数为止
商不是质数则将它作为被除数画上短除号继续除，除到商是质数为止
最后写成分解质因数的标准形式（质因数从小到大写）
合数=短除号侧面和下面这些质数的乘积
短除法
直接用短除法找最大公因数
把两个数都写在短除号内，同时将两个数分解质因数，除数只写一个是它们共有的除数，除数要使两个数都能整除并且是质数，也就是它们共同的质因数。除到两个数的商互质为止
所有的除数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
所有的除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数
③
④小结
公因数
几个数共有的因数叫这几个数的公因数
最大公因数
公因数中最大的一个是它们的最大公因数
找最大公因数的方法
①列举法
②倍数关系
③互质关系
④分解质因数法
⑤短除法
直接用短除法找最大公因数
所有的除数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
巩固练习
收获总结
重点:找两个数的公因数的方法,会用列举法找出两个数的公因数和最大公因数
难点:理解公因数和最大公因数的意义
约分
导入
师：下面分数的分子和分母各有哪些公因数?最大公因数是几?
师:今天我们利用上节课所学的知识,来对分数进行进一步的探索
探究新知
①
师：用分数表示阴影部分，认真观察，你发现了什么?
生：同一个整体，它们表示的阴影部分是一样的，所以
师:为什么这几个分数的分子和分母都不一样，分数的大小却是相等的?你能用前面学过的知识，解释同学们的发现吗?
生：根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变
②
师：1/3这个分数的分子和分母的公因数是几？
生：是1
师：像1/3这样的分数。分数的分子和分母的公因数只有1的这样的分数叫最简分数
师：观察这个例子，你知道怎么把分数8/24化成最简分数的吗？
生：分数的分子分母一次又一次的同时除以同一个不为0的数，分子分母的数逐渐变小，但分数值没变，直到分子分母的公因数最后只有1为止
师：分数的分子和分母同时除的数有什么特点吗？
学生回答
师：因为要保证后面的分数的分子分母必须是整数，所以要整除，所以除数都是分子和分母的因数，即这个数是分子和分母的公因数
师：像这样，把一个分数的分子和分母同时除以公因数，分数的值不变, 这个过程叫做约分
师：所以把一个分数化成最简分数有时需要约好几次
师：这个叫逐次约分，用分子分母的公因数逐次去除分子和分母，直到得出最简分数为止
师：有时候也可以约一次，你知道怎么把分数8/24约一次化成最简分数的吗？分数8/24化成1/3分子和分母发生了什么变化？
生：观察这个例子是分数的分子分母同时除以8
师：这个叫一次约分法，分数的分子和分母同时除以分子分母的最大公因数，直接得出最简分数
③练习
师：我们知道了约分的方法,你能把下面的分数约分吗?
④小结
最简分数
分数的分子和分母的公因数只有1的这样的分数叫最简分数
约分
把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫作约分,不能再约分的分数是最简分数
约分的方法
逐次约分法
分数的分子和分母逐次除以它们的公因数，直到得出最简分数为止
一次约分法
分数的分子和分母同时除以分子分母的最大公因数，直接得出最简分数
巩固练习
明明的头长是20cm，身高是120cm,明明头长是身高的几分之几?
收获总结
重点:知道约分和最简分数的意义,能把分数化简成最简分数。
难点:使学生会利用分数的意义、约分等知识,解决生活中简单的问题
找最小的公倍数
导入
师：我们以前学过找一个数的倍数的方法,同学们还记得吗?请你说出4的几个倍数,6的几个倍数
师:在这张数表中有几个数?
生:50个数
师:我们这节课继续从这个表中研究倍数的问题
探究新知
①认识公倍数
师:请同学们在这张数表中找出4和6的倍数。用“△”标出4的倍数,用“○”标出6的倍数
师:谁能说说4的倍数?
生:4的倍数有4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48
师:6的倍数呢?
生:6的倍数有6,12,18,24,30,36,42,48
师:在标数时,你们发现了什么?
生:我们发现有些数既是4的倍数,又是6的倍数
师:能举例说明吗?
生:如12,24,36,48,这些数既用“△”标出,又用“○”标出,所以它们既是4的倍数,又是6的倍数
师:那么,能否给这些数取一个名字呢?
生1:我取的名字叫共同的倍数
生2:这个名字太长了,叫公倍数更好
师:这个名字取得好,在数学上把这些数都叫作公倍数。那么谁来总结一下什么叫公倍数?
生：几个数共有的倍数叫公倍数
师:那么,在这几个公倍数中,谁能给“12”也取个名字?
生:它是最小的一个,所以它的名字叫最小公倍数
师：公倍数中最小的一个叫它们的最小公倍数
师:那么,有没有最大公倍数呢?
生：没有
②
师：从这个集合图中你能看出什么?
生:图中左边的圈里是4的倍数,右边的圈里是6的倍数
师:为什么要在倍数的后面加上省略号?
生:因为一个数的倍数的个数是无限的,所以在倍数后面加上“……”
师:两个圈重合的部分表示什么数?
生:两个圈重合的部分既是4的倍数,又是6的倍数,是4和6的公倍数
③找最小公倍数的方法
师:请同学们回顾一下,刚才我们是用什么方法引出公倍数的?
(小结学生的发言,板书:列举法)
师:在寻找最小的公倍数时,经常用到列举的方法
1列举法
①先找出各组中每个数的倍数
②再从每个数的所有倍数中找出它们的公倍数和最大公倍数
2倍数关系
师：找出下面两个数的公倍数和最小公倍数5和15，3和9
师：认真观察这些数的公倍数和最小公倍数,它们有什么特点?
生：5和15的公倍数: 15,30,45,60……，其中最小公倍数是15
生：3和9的公倍数: 9,18,27,36……，其中最小公倍数是9
师小结
像这样，当两个数是倍数关系时，公倍数就是较大数的倍数，其中最小公倍数就是较大的数
3互质关系
含义
两个非零自然数，公因数只有1，并且1也是它们的最大公因数。这两个数叫作互质数
找最小公倍数
互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积
典型例子
两个不同的质数，为互质数
如：7和11
1和任何自然数，为互质数
如：1和24
任何相邻的两个数互质
如：7和8
4分解质因数法
含义
把一个合数写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数分解成若干个质因数相乘的过程叫分解质因数
找最小公倍数
把两个数都分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
把各数中独有的质因数提取出来和最大公因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数
如18和12
18=2×3×3 12=2×2×3
它们共有的质因数是2和3，最大公因数是2×3=6
它们独有的质因数是2和3，最小公倍数是6×2×3=36
如24和60
24=2×2×2×3 60=2×2×3×5
它们共有的质因数是2、2和3，最大公因数是2×2×3=12
它们独有的质因数是2和5，最小公倍数是12×2×5=120
5短除法
直接用短除法找最小公倍数
把两个数都写在短除号内，同时将两个数分解质因数，除数只写一个是它们共有的除数，除数要使两个数都能整除并且是质数，也就是它们共同的质因数。除到两个数的商互质为止
所有的除数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
所有的除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数
④小结
公倍数
几个数共有的倍数叫这几个数的公倍数
最小公倍数
公倍数中最小的一个叫它们的最小公倍数
找最小公倍数的方法
①列举法
②倍数关系
③互质关系
④分解质因数法
⑤短除法
直接用短除法找最小公倍数
所有的除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数
巩固练习
收获总结
重点:会用列举法等方法找出两个数的公倍数和最小公倍数
难点:理解公倍数和最小公倍数的含义
分数的大小
导入
师：比较大小，再说一说比较的方法
比较方法
分母相同，分子大的分数比较大。分子相同，分母小的分数比较大
真分数小于1，带分数大于1。带分数大于真分数
师：分母和分子都不同时,怎样比较大小呢?今天,我们就来研究异分母的分数比较大小的方法
探究新知
①
师:从图中你知道了什么?
学生回答：教学楼占校园面积的3/10，操场占校园面积的2/7，宿舍楼占校园面积的1/6
师:怎样比较操场和宿舍楼谁的占地面积大?
生:求操场和宿舍楼谁的占地面积大就是比较2/7和1/6的大小
师:以前学过同分母或同分子分数比较大小，分母相同时分子大的分数比较大，这里分母不相同;分子相同时，分母大的分数比较小，这里分子也不相同。该怎样比较大小呢?我们可以画图试试怎样用图形表示2/7和1/6的大小
生：2/7表示把整体平均分成7份,取其中的2份;1/6表示把整体平均分成6份,取其中的1份
②
师:分母不同的分数比较大小，还可以转化为分母相同的分数再比较，这两个分数的分母分别是7和6,化为分母相同的分数，相同的分母应该是多少?
生:应该是7和6的最小公倍数42
师：是的，把两个分数的分母化成相同时，就选两个分母的最小公倍数作新的分母，选其他公倍数也可以比较大小
师:现在我们把这两个分数化为分母相同的分数，把2/7的分母变为42，还需做其他变化吗？
生：要保证分数值大小不变，分母变为42相当于乘了6，所以分子也要乘6变为12
师：同样的道理1/6应该变为多少呢？
生：7/42
师：现在大家能比较大小了吗？
师:现在你知道谁的占地面积大了吗?
生：搡场的占地面积大
师小结
把分母不相同的几个分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分
通分的步骤
①先要找出两个分数的分母的最小公倍数（其他公倍数也可）
②然后根据分数的基本性质变化分数
师：通分的目的是把分母化相同，这样就可以利用同分母的分数比较大小
③
师：如果我们利用同分子的分数比较大小，还可以怎么比较2/7和1/6的大小
生：把它们的分子化成相同
师：分子化成多少呢？
生：2和1的最小公倍数是2
师:现在我们来比一比宿舍楼和教学楼谁的占地面积大应该怎样比?
生:宿舍楼占校园面积的1/6，教学楼占校园面积的3/10，比较它们的面积就是比较1/6和3/10的大小
师:可以看到它们也是两个分母不同的分数，怎样比较大小?
生:用通分的方法
④小结
分数比较大小
分母相同，分子大的分数比较大。分子相同，分母小的分数比较大
分母不同
要通分
通分
把分母不相同的几个分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分
通分的步骤
①先要找出两个分数的分母的最小公倍数（其他公倍数也可）
②然后根据分数的基本性质变化分数
分数比较大小的技巧
分子分母交叉相乘，积大则积下面的分数就大
巩固练习
收获总结
重点:理解通分的含义,会正确比较两个分母不同的分数的大小
难点:会用分数描述生活中的有关现象