05.圆【链式】

史上最全的有关圆的思维导图！整合了多个初中名校有关圆的资料精编而成。1.1 圆的定义；1.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；1.3 直径和弦的关系；2.1 点和圆的位置关系。

圆（单独思维导图）链式思维网（几何篇）

• 1.1 圆的定义
  • 1.（在平面内）与一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
  • 2.连接圆心和圆周上任意一点所得的线段叫做半径
  • 3.圆周上的一点叫做半径的端点
  • 4.连接圆周上任意两点所得的线段叫做弦
  • 5.从圆心到弦的距离叫做弦心距
  • 6.过圆心的弦叫做直径
  • 7.圆周上任意两点之间的部分叫做弧
  • 8.直径将圆分为两部分，每一部分叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧
  • 9.两条半径所夹的角叫做圆心角
  • 10.圆心相同的圆叫做同心圆，半径相等的圆叫做等圆。
  • 11.如果一个圆的圆心是O，半径是r，就记作○O（r),也可简记为○O，经过A、B、C三点的圆，记作○ABC
  • 12.同圆的半径相等，同圆的直径相等
• 1.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
  • 在同圆（或等圆）中
    • 圆心角相等，所对的弧也相等，反之亦然
    • 弧相等，所对的弦也相等，——
    • 弦相等，弦心距也相等，——
    • 圆心角<->弧<->弦<->弦心距 证明其中一个相等（不等），就转化为其他元素相等（不等），缺什么补什么
    • 不等关系：角大弧大，弧大角大 ； 劣弧大弦大，弦大劣弧大 ； 弦大弦心距小，弦心距大弦小
• 1.3 直径和弦的关系
  • 垂径定理：如果一条直线过圆心并且垂直于一条弦，那么这条直线一定平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（包括优弧和劣弧），逆命题也成立。
    • 垂径定理往往并不是以完整的直径呈现，而是以弦心距的那条线段。
    • 1.过圆心
    • 2.垂直于弦
    • 3.平分弦（直径除外）
    • 4.平分弦所对的弧（包括优弧和劣弧）
    • “四选二”式证明
  • 不在一条直线上的三点确定一个圆
• 1.圆的一般性质
• 2.1 点和圆的位置关系
  • 如果P点在圆内，那么OP<r ;在圆周上，OP=r ; 在圆外，OP>r
    • 着重研究点在圆周上的问题
      • 比如点P、P1、P2、......、Pn与O点的距离都相等，那么点P、P1、P2、......、Pn都在以O为圆心，OP为半径的圆周上。
• 2.2 直线和圆的位置关系
  • 设○O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d, ·如果d<r，那么直线和圆相交； ·如果d=r,那么直线和圆相切； ·如果d>r，那么直线和圆相离。
    • 1.切线的判定：如果一条直线通过圆的半径（或直径）的端点，并且垂直于这条半径（或直径），那么这条直线是圆的切线。
    • 2.切线的性质：如果一条直线过圆心并且过切点，那么这条直线必定垂直于切线，逆命题亦成立。
      • （1）过圆心
      • （2）过切点
      • （3）垂直于切线
      • “三选二”证明
    • 3.切线长及切线夹角的性质：从圆外一点向圆作两条切线，那么从这点到切线的距离叫作从这点到这圆切线的长。 ——切线长定理：从圆外一点向圆作两条切线，则： （1）这两条切线的长相等 （2）这个点与圆心的连线平分两切线的夹角
      • -->全等三角形
      • -->角平分线模型
• 2.3 连续原理在圆的问题中所引申出的定理 这里就不再对连续原理赘述
  • 平行弦夹等弧定理
    • 1.如果一个圆的两条弦互相平行，那么夹在这两条平行弦之间的两段弧相等
    • 2.如果一条弦平行于一条切线，那么切点平分弦所对的弧
    • 3.如果一个圆的两条切线平行，那么两个切点平分圆周
• 2.4 圆和圆的位置关系
  • 1.两圆位置关系的判定定理：如果两圆的圆心分别为O和O'，它们的半径分别为r和r’：
    • 特别注意遇到“相切”的字样时要分类讨论外切和内切的情况！
  • 2.两圆位置关系的性质定理
  • 即“圆心距不等式”与两圆位置关系的互推
  • 3.连心线的性质定理
    • a.两圆相交时，连心线垂直平分公共弦
      • 特殊：如果两圆是等圆，那么会产生类似菱形、正方形的图形
        •  
    • b.两圆相切，切点必定在连心线上
  • 4.公切线
    • · 如果一条直线和两个圆都相切，那么这条直线叫做这两条直线的公切线 · 如果这两个圆在公切线的同旁，那么这条公切线叫做外公切线； · 如果两个圆在公切线的两旁，那么这条公切线叫做内公切线（所以遇到切线时注意分类讨论） · 一条公切线上两个切点间的距离叫做公切线的长
    • · 如果两圆有两条外公切线，那么这两条外公切线的长相等；如果两圆有两条内公切线，那么这两条内公切线的长相等。
      •  （特殊情况：两条外公切线平行，此时S为无穷远点）
      • ·两圆相切时,外公切线长=2倍根号下两圆半径积 ；无内公切线长。 ·外公切线与连心线夹角的正弦值=（R-r)/d
      • 其他变式:求外公切线和内公切线围成的三角形的面积
• 2.几种简单图形和圆的位置关系
• 3.1 圆心角：顶点在圆心的角，叫做圆心角
  • 圆心角的度数等于它所对弧的度数（习惯上将一个圆周和周角360等份，1度的弧所对的圆心角是1度的角，逆命题亦成立）
    • 这是角和弧的度量的基本关系 角的数量/比例关系<--->弧的数量/比例关系
• 3.2 圆内角：顶点在圆内的角，叫做圆内角
  • 圆内角的度数等于它和它的对顶角所夹两弧度数之和的一半
    •  
• 3.3 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆有公共点的角，叫做圆外角
  • 圆外角的度数等于所夹两弧度数之差的一半
    • 
• 3.4 圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。
  • 圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半
    •  圆周角的情况是左右两种类型的退化（极限）情况，此时“小角”度数为0。
    • 衍生出“半圆/直径所对圆周角是直角” （此时圆周角所对的弧为180度，易知圆周角为直角） （反之亦成立）
  • 在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等； 反之，在同圆（或等圆）中，圆周角相等则所对的弧也相等（包括优劣弧）
• 3.5 弦切角：顶点在圆周上，并且一条边是圆的弦，另一条边是圆的切线的角，叫做弦切角。
  • · 弦切角的度数等于所夹弧度数的一半 · 弦切角等于所夹弧所对的圆周角
    • 弦切角其实就是圆周角的一个特殊情况
• 3.和圆有关的角
  • 分类讨论大潮：不同类型的角会产生不同的情况，所以需要讨论角的顶点是在圆上、圆内、还是圆外。
• 4.6 圆和正多边形
  • 1.正多边形的判定定理：
    • 如果将一个圆周分为n（n是大于2的整数）等份，那么： 1.顺次连接各个分点就得到一个内接于圆的正多边形 2.过各个分点作圆的切线就得到一个外切于圆的正多边形
  • 2.正多边形的性质
    • 1.任何正多边形必有一个外切圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆
    • 2.正n边形的每个中心角等于2π/n,所以正n边形的中心角等于它的一个外角
• 4.5 四点共圆
  • 常见应用场景： 1.证明角度相等 2.证明线段相等 3.证明两直线平行或垂直 4.证明多圆共点
  • ·如果两点张等角于另两点的同侧，那么这四点共圆。 -->还可以推出相似关系，例如△ABO∽△CDO（AD和BC交点为O)
  • 圆幂定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理图示：（出现这几种图形，则必有相似三角形存在，可用于证明圆的比例关系）
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    • 这几个定理拥有四点共圆的雏形，可以看做四点共圆所牵扯出来的比例关系
  • 托勒密定理
    • 托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。 如左图所示，ABCD为圆内接四边形，则AC·BD=AB·CD+AD·BC。
• 4.4 圆内接四边形
  • 圆内接四边形的性质定理：
    • 在圆内接四边形中，一组对角之和等于另一组对角之和
    • 圆内接四边形的对角互补
    • 圆内接四边形的任何一个外角等于内对角
    • 三种表述方法
  • 圆内接四边形的判定定理就不言自明了，逆着来
• 4.3 圆外切四边形
  • ·在外切四边形中，一组对边之和等于另一组对边之和 （如图所示，HM=HN,IO=IN,MJ=JP,LO=LP，四式相加可得 HM+MJ+IO+OL=HN+NI+JP+PL--->HJ+IL=HI+JL)
  • ·圆外切四边形的判定定理：在一个四边形中，如果一组对边之和等于另一组对边之和，那么这个四边形必有内切圆。
• 4.2 三角形的内切圆和旁切圆、内心和旁心
  • 三角形的三个内角平分线交于一点，这点到三角形的三条边的距离相等。以这点为圆心，以这点到任何一边的距离为半径作圆，必定和另外两条边相切。 这个圆就是三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心。内切圆的半径叫作三角形的内半径，内心必定在三角形的内部。
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  • 三角形的一个内角平分线和其他两个外角的平分线交于一点，这点到三角形的一条边和另外两条边的延长线距离相等，以这点为圆心，以这点到一条边的距离为半径作圆，必定和另外两条边的延长线相切。 这个圆就是三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫作三角形的旁心，一个三角形有三个旁切圆，旁心一定在三角形外部。
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  • 重要辅助线：内角平分线、高
• 4.1 三角形的外接圆、外心、垂心、重心
  • 1.三角形的外接圆、圆心： 在三角形中，三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，以这点为圆心，以这点到任何一个顶点的距离为半径的圆，必定通过其他两个顶点。这个圆即为三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心，外接圆的半径叫作三角形的外半径，锐角三角形的外心必定在三角形的内部，钝角三角形的外心必定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边中点。（常用辅助线）
  • 2.三角形的垂心： ·三角形的三条高（或延长线）交于一点。 （放大查看 ↓ ）
  • 3.三角形的重心： ·三角形的三条中线交于一点，这一点到一边中点的距离等于这边中线的1/3 ·三角形的三条中线的交点叫作三角形的重心，重心一定在三角形的内部 · 一个三角形的重心同时也是它中点三角形的重心
• 超链接：三角形的五心【链式】（已完结）