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初二上册数学知识点整理
初二上册数学知识点整理的内容含有三角形，整式的乘法与因式分解以及全等三角形、分式以及轴对称这几方面的内容
编辑于2022-08-17 16:23:02 四川省
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数学
第十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段(2)
⑴定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
⑵写法
(例)∠A ∠B ∠α ∠β……
⑶分类：
按边分
三边都不想等的三角形
等腰三角形
底边和腰不想等的等腰三角形
等边三角形
按角分
直角三角形(Rt△)
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
⑷三边关系
①三角形两边之和大于第三边
②三角形两边的差小于第三边
⑸重要有关线段
高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段 叫做三角形的中线
重心：三角形的三条中线相交与一点，这个点叫做三角形的重心
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交 ，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线
⑹三角形具有稳定性
11.2与三角形有关的角(11)
⑴定理
三角形三个内角的和等于180°
⑵证明方法
①作平行线
②剪
⑶直角三角形的性质与判定
性质：直角三角形的两个锐角互余
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
11.3多边形及其内角和(19)
⑴多边形及有关概念
①多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形
②多边形的内角
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角
③多边形的外角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
④多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
⑤凸多边形
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧 那么这个多边形叫做凸多边形
⑥正多边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
⑵多边形的内角和、外角和
①多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180°
②多边形的外角和
多边形的外角和等于360°
第十二章 全等三角形
12.1全等三角形(31)
⑴全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形
⑵全等三角形的有关概念及表示方法
⑴有关概念
①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
②把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边
⑵表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”
⑶全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等
⑷全等三角形对应边、对应角的确定方法
①公共边、最长边、最短边分别是对应边
②公共角、对顶角、最大角、最小角分别是对应角
③两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边
④两个三角形用“≌”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找
12.2三角形全等的判定(35)
⑴三角形全等的判定方法
①三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”
②两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等简写成“边角边”或“SAS”
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”
⑵判定两个三角形全等的思路
①已知两边
找夹角→SAS
找第三边→SSS
找直角→HL
②已知两角
找夹边→ASA
找其中一个已知角的对应边→AAS
③已知一边一角
边为角的对边——找任一角→AAS
边为角的邻边
找夹角的另一边→SAS
找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
12.3角平分线的性质(48)
⑴角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离(垂直距离)相等
⑵角平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上
第十三章 轴对称
13.1轴对称
⑴轴对称图形的定义
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴
⑵轴对称
①定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，若它能够与另一个图形重合，则说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫对称点
②轴对称与轴对称图形的区别
意义不同
轴对称
两个图形之间的对称关系
轴对称图形
具有特殊形状的图形
对象不同
轴对称
两个图形
轴对称图形
一个图形
对称轴的位置不同
轴对称
在两个图形之间
轴对称图形
过图形的某条直线
对称轴的数量不同
轴对称
只有一条
轴对称图形
一条或多条
⑶图形轴对称的性质
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
⑷线段的垂直平分线
①线段的垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
②线段的垂直平分线的性质
⒈线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
⒉与条条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
⑸画图形的对称轴
找到一对对应点，做出连接他们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴
13.2画轴对称图形
⑴成轴对称的两个图形之间的关系
①由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同
②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点
③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
⑵画一个图形的轴对称图形的方法
①找——在原图形上找特殊点 （如线段的端点）
②画——画各个特殊点关于对称轴的对称点
③连——依次连接各对称点
⑶用坐标表示轴对称
①点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y ）
②点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y ）
13.3等腰三角形
⑴等腰三角形的有关定义
有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
⑵等腰三角形的性质
①性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高、相互重合（简写“成三线合一” ）
⑶等腰三角形的判定方法
①利用等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）
③因为线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以线段垂直平分线的性质也可以作为判断等腰三角形的方法
⑷等边三角形
①等边三角形的定义
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形
②等边三角形的性质
⒈等边三角形的三个内角都相等 并且每一个内角都等于60度
⒉等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”
⒊等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质
⒋含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中 如果一个锐角等于30度 那么它所对的直角边等于斜边的一半
13.4最短路径问题
⑴求直线预测2点到直上1点距离的和最小的问题
只要连接直线异侧的这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置
⑵求直线同侧2点到直线上一点距离的和最小的问题
只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置
第十五章 分式
15.1分式
⑴分式的概念：一般的如果ab表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子A/B叫做分式，分式A/B中A叫做分子，B叫做分母，分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为零。及当地≠0时分式A/B才有意义。
⑵分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除)以同一个不为0的整式，分式的值不变。
15.2分式的运算
15.3分式方程
⑴分式方程
①定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
②增根：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根。
③检验分式方程解的方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解。
④解分式方程的一般步骤
分式方程
(通过去分母)整式方程
x＝a
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
⑴同底数幂的乘法
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
⑵幂的乘方。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
⑶积的乘方
即积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
⑷整式的乘法
①一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连通它的指数作为积的一个因式。
②一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
③一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
⑸整式的除法
即同底数幂相除，底数不变，指数相减 任何不等于0的数的0次幂都等于1。
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连通它的指数作为商的一个因式。
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
14.2乘法公式
⑴平方差公式
（a+b）（a-b）＝a²-b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
⑵完全平方公式
（a+b)²＝a²+2ab+b² （a-b)²＝a²-2ab+b² 两个数的和（或差)的平方，等于它们的平方和，加上（或减)去它们的积的2倍。
14.3因式分解
⑴因式分解的概念：把一个多项化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
⑵提公因式法
①公因式：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
②提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提供因式法。用字母表示为pa+pb+pc＝p（a+b+c）
⑶公式法
①逆用平方差公式：a²-b²＝（a+b）（a-b）
②逆用完全平方公式：a²±2ab+b²＝（a±b)²
x＝a是分式方程的解
←最简公分母不为0
←---------→
最简公分母为0
x＝a不是分式方程的解，x＝a为增根
数学
第十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段(2)
⑴定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
⑵写法
(例)∠A ∠B ∠α ∠β……
⑶分类：
按边分
三边都不想等的三角形
等腰三角形
底边和腰不想等的等腰三角形
等边三角形
按角分
直角三角形(Rt△)
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
⑷三边关系
①三角形两边之和大于第三边
②三角形两边的差小于第三边
⑸重要有关线段
高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段 叫做三角形的中线
重心：三角形的三条中线相交与一点，这个点叫做三角形的重心
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交 ，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线
⑹三角形具有稳定性
11.2与三角形有关的角(11)
⑴定理
三角形三个内角的和等于180°
⑵证明方法
①作平行线
②剪
⑶直角三角形的性质与判定
性质：直角三角形的两个锐角互余
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
11.3多边形及其内角和(19)
⑴多边形及有关概念
①多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形
②多边形的内角
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角
③多边形的外角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
④多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
⑤凸多边形
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧 那么这个多边形叫做凸多边形
⑥正多边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
⑵多边形的内角和、外角和
①多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180°
②多边形的外角和
多边形的外角和等于360°
第十二章 全等三角形
12.1全等三角形(31)
⑴全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形
⑵全等三角形的有关概念及表示方法
⑴有关概念
①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
②把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边
⑵表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”
⑶全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等
⑷全等三角形对应边、对应角的确定方法
①公共边、最长边、最短边分别是对应边
②公共角、对顶角、最大角、最小角分别是对应角
③两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边
④两个三角形用“≌”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找
12.2三角形全等的判定(35)
⑴三角形全等的判定方法
①三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”
②两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等简写成“边角边”或“SAS”
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”
⑵判定两个三角形全等的思路
①已知两边
找夹角→SAS
找第三边→SSS
找直角→HL
②已知两角
找夹边→ASA
找其中一个已知角的对应边→AAS
③已知一边一角
边为角的对边——找任一角→AAS
边为角的邻边
找夹角的另一边→SAS
找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
12.3角平分线的性质(48)
⑴角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离(垂直距离)相等
⑵角平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上
第十三章 轴对称
13.1轴对称
⑴轴对称图形的定义
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴
⑵轴对称
①定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，若它能够与另一个图形重合，则说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫对称点
②轴对称与轴对称图形的区别
意义不同
轴对称
两个图形之间的对称关系
轴对称图形
具有特殊形状的图形
对象不同
轴对称
两个图形
轴对称图形
一个图形
对称轴的位置不同
轴对称
在两个图形之间
轴对称图形
过图形的某条直线
对称轴的数量不同
轴对称
只有一条
轴对称图形
一条或多条
⑶图形轴对称的性质
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
⑷线段的垂直平分线
①线段的垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
②线段的垂直平分线的性质
⒈线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
⒉与条条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
⑸画图形的对称轴
找到一对对应点，做出连接他们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴
13.2画轴对称图形
⑴成轴对称的两个图形之间的关系
①由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同
②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点
③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
⑵画一个图形的轴对称图形的方法
①找——在原图形上找特殊点 （如线段的端点）
②画——画各个特殊点关于对称轴的对称点
③连——依次连接各对称点
⑶用坐标表示轴对称
①点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y ）
②点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y ）
13.3等腰三角形
⑴等腰三角形的有关定义
有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
⑵等腰三角形的性质
①性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高、相互重合（简写“成三线合一” ）
⑶等腰三角形的判定方法
①利用等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）
③因为线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以线段垂直平分线的性质也可以作为判断等腰三角形的方法
⑷等边三角形
①等边三角形的定义
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形
②等边三角形的性质
⒈等边三角形的三个内角都相等 并且每一个内角都等于60度
⒉等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”
⒊等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质
⒋含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中 如果一个锐角等于30度 那么它所对的直角边等于斜边的一半
13.4最短路径问题
⑴求直线预测2点到直上1点距离的和最小的问题
只要连接直线异侧的这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置
⑵求直线同侧2点到直线上一点距离的和最小的问题
只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置
第十五章 分式
15.1分式
⑴分式的概念：一般的如果ab表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子A/B叫做分式，分式A/B中A叫做分子，B叫做分母，分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为零。及当地≠0时分式A/B才有意义。
⑵分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除)以同一个不为0的整式，分式的值不变。
15.2分式的运算
15.3分式方程
⑴分式方程
①定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
②增根：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根。
③检验分式方程解的方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解。
④解分式方程的一般步骤
分式方程
(通过去分母)整式方程
x＝a
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
⑴同底数幂的乘法
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
⑵幂的乘方。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
⑶积的乘方
即积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
⑷整式的乘法
①一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连通它的指数作为积的一个因式。
②一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
③一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
⑸整式的除法
即同底数幂相除，底数不变，指数相减 任何不等于0的数的0次幂都等于1。
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连通它的指数作为商的一个因式。
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
14.2乘法公式
⑴平方差公式
（a+b）（a-b）＝a²-b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
⑵完全平方公式
（a+b)²＝a²+2ab+b² （a-b)²＝a²-2ab+b² 两个数的和（或差)的平方，等于它们的平方和，加上（或减)去它们的积的2倍。
14.3因式分解
⑴因式分解的概念：把一个多项化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
⑵提公因式法
①公因式：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
②提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提供因式法。用字母表示为pa+pb+pc＝p（a+b+c）
⑶公式法
①逆用平方差公式：a²-b²＝（a+b）（a-b）
②逆用完全平方公式：a²±2ab+b²＝（a±b)²
x＝a是分式方程的解
←最简公分母不为0
←---------→
最简公分母为0
x＝a不是分式方程的解，x＝a为增根