复数

这是一篇关于复数的思维导图，主要内容有复数的概念、复数的几何意义、复数的四则运算、方程的根。

复数

• 复数的概念
  • 形如a➕bi（a，b属于R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位
  • 复数的代表形式：z＝a➕bi
    • a为实部，b为虚部
  • 复数相等的条件：z＝a➕bi和Z＝c➕di相等
    • 即a＝c且b＝d
    • 若Z1，Z2为实数，则Z1，Z2具有可比性
    • 若Z1，Z2不都为实数，则Z1，Z2只有相当与不相等的关系，而不能比较大小
    • 若Z1 > Z2，则Z1 ，Z2均为实数，且b＝d=0，a > c
  • 复数的分类
    • b＝0 （实数）
    • b ≠0 （虚数）
    • a=0，b=0 （实数0）
    • a=0，b ≠0 （纯虚数）
  • 数的扩充
    • N* ⫋N ⫋Z ⫋Q ⫋R ⫋C
  • 例题
    • eg1：实数m取何值时，复数z=（m²-5m＋6）＋（m²-3m）i为①实数②虚数③纯虚数 (1）实数：即虚部为0，即m²- 3m=0 m(m-3)=0 m=0或m=3 （2）虚数：虚部不为0，即m(m-3)≠0 m≠0 且m≠3 （3）纯虚数：即实部为0，虚部不为0 m²-5m+6=0 （m-2)(m-3)=0 m=2或m=3 当m=3时，虚部也为0，此时z是0，仍是实数 因此m=2
    • eg2：已知a,b属于R,则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的充分不必要条件
    • eg3：已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值． 解：设x=m是方程的实根，代入方程得 m2+(k+2i)m+2+ki=0, 即(m2+km+2)+(2m+k)i=0. 解得方程的实根为x= √2或x=-√2相应k的值为-2 √2或2 √2
    • 变式：已知复数z=k2-3k+（k2-5k+6）i，且z＜0，则k=_ 解：∵数z=k2-3k+（k2-5k+6）i，且z＜0， ∴数k2-3k＜0且k2-5k+6=0， 解得：k=2
• 复数的几何意义
  • 复数z=a+bi(a、b∈R)，一一对应复平面内的点：Z（a,b）
  • 复数z=a+bi(a、b∈R)，一一对应平面向量：向量OZ＝（a，b）
  • 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数。
  • 复数的模
    • 丨Z丨＝｜a+bi｜
      • 1．若b＝0，则Z为一个实数，则它的模等于|a|
      • 2．复数与向量一一对应的前提条件是向量的起点为坐标原点
      • 3．若复数Z满足｜Z｜＝1，则点Z在复平面内的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆 若1 <｜Z｜<2 圆环 若Z <｜Z｜ 在实轴的非负半轴
• 复数的四则运算
  • 加减法
    • z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
    • 运算律
      • 交换律：z1+ z2＝z2 +z1
      • 结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2 +z3).
  • 乘法
    • 设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i
    • 运算律
      • z1 ×z2＝z2 ×z1
      • （z1 ×z2）×z3＝z1 × （z2×z3）
      • z1 ×（z2+z3）＝z1 ×z2+ z1 ×z3
  • 共轭复数
    • 两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数
    • 在复平面上，表示两个共轭复数的点关于实轴对称
    • 特别地，虚部不为零的两个共轭复数，叫共轭虚数
  • 除法
    • (a+ib)/(c+id) =(a+ib)(c-id)/(c+id)(c-id) =(ac+bd)/(c2+d2)+（bc-ad)/(c2+d2)i
• 方程的根