高中数学 圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系

高中数学 圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系

高中数学 直线与圆锥曲线的位置关系

• 知识梳理
  • 位置关系问题
    • 直线联立方程
      • Ax+By=0｛Ax+By+C=0 {f(x,y)=0 消去y得ax²+bx+c=0 △=b²-4ac（研究a≠0）
    • 判定
      • 直线与椭圆
        • △＞0——相交 两个交点
        • △＜0——相离 无交点
        • △=0——相切 一个交点
      • 直线与双曲线
        • △＞0
        • 一个交点
      • 直线与抛物线
        • 相交
          • 两个交点，△＞0
          • 一个交点，直线L∥x轴
      • 直线与双曲线、抛物线
        • 相切 一个交点，△=0
        • 相离 没有交点，△＜0
  • 弦长问题
  • 弦的中点问题
    • 常用解法
      • 点差法
        • 椭圆
        • 双曲线
        • 抛物线
      • 根与系数关系
    • 具体问题
      • 曲线内点P，求以P为中点的直线方程
      • 求弦的中点
      • 线段的垂直平分线
      • 对称问题
      • 向量式：改写成坐标，再用根与系数关系表示
      • 面积
• 学法指导
  • 最值、范围问题解法
    • 圆锥曲线自身的最值
      • 椭圆上两点的最大距离是2a
      • 双曲线上分别在两个分支上的两点的最小距离是2a
      • 椭圆焦半径的范围是[a-c，a+c]
      • 华抛物线上离准线最近的点是顶点
    • 代数法
      • 二次函数
      • 三角换元
      • 判别式
      • 不等式
    • 几何法
      • 向量
      • 对称
      • 几何性质
  • 位置关系判定
    • “直线与圆锥曲线相”是“直线与圆锥曲线只有一个公共点”的充分非必要条件
    • 联立直线与圆锥曲线的方程，消去一个未知数后， 得到关于另一个未知数的方程，不一定是二次方程
    • 若得到关于另一个未知数的一次方程，则方程只有一个根， 此时，直线与曲线的位置关系并非相切，而是相交
      • 如果是双曲线，则说明该直 线与双曲线的渐近线平行
      • 如果是抛物线，则说明该直 线与抛物线的对称轴平行
  • 开放性问题
    • 探究条件
      • 可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在
    • 探究结论
      • 应先求出结论的表达式，再针对其表 达式进行讨论，往往涉及参数的讨论
  • 存在问题
    • 步骤：假设存在待定系数法列式→求解 具体问题：点、弦
      • 方法：用“假设反证法”或“假设验证法”
  • 曲线好的交点与方程组的关系
    • 两曲线有无交点，或有几个交点，就是 判断方程组有无实数解或有几组实数解
  • 定值定点解题方法
    • 特殊：求定点，证无关
    • 一般：直接推理一计算→消去变量→几何转换→从而得到定值定点
• 总结提升
  • 知能提升
    • 当直线与圆锥曲线相交涉及弦长问题时，常利用“设而不求”计算弦长，涉及弦长的中点或斜率问题时，利用点差法“设而不求”
    • 能用解方程组解决的问题，大部分也可以用点差法解决，且点差法计算量小多了，但点差法相对比较粗糙，比如轨迹问题中，不能精确找出变量的范围
    • “解方程组”和“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与重要技巧
  • 学习误区
    • 运用点差法与弦长公式出错
    • 直线与圆锥曲线有一个公共点，要注意利用分类讨论和数形结合
    • 直线与圆锥曲线位置关系的判定：最基本的方法是解方程组法，有时也用点差法简化计算，有时还可以借助几何法