矩阵

2021考研 线性代数 矩阵部分 参考李永乐线性代数辅导讲义

矩阵

• 概念
  • m*n个数排成m行n列的表格 A=[aij]m*n
  • 零矩阵、单位矩阵、方阵
• 运算
  • 加减法：对应元素加减 数乘：kA——k*每个元素 乘法：AB=C，Cij=A的i行*B的j列
  • AB≠BA ABC=A(BC)
  • AB=O≠>A=O或B=O AB=AC且A≠O≠>B=C
  • (A+B)²=A²+AB+BA+B²≠A²+2AB+B²
• 分块矩阵
  • 要分块的情形
    • 遇到乘法，Aⁿ，A的逆等运算时，分成对角的方阵
      • 转置=分块矩阵的转置（分块矩阵之间顺序也要转置）
      • n次方=分块方阵n次方（方阵在对角线上，其余为O）
      • 逆=分块方阵的逆（若方阵在副对角线上，要交换方阵位置）
    • 遇到向量，方程组，秩时，分成行向量或列向量
      • AB=O：B的列向量是AX=0的解
      • AB=C：C的行向量可由B的行向量线性表示 C的列向量可由A的列向量线性表示
  • 重要结论
    • α转置*β=β转置*α=tr(α*β转置）
    • r(α*β转置)≤1，则α*β转置每两行都成比例
      • r(A)=1，则A=α×β的转置 秩为1的矩阵可以拆分成两个向量乘积
    • α转置*α≥0
    • α*α转置为对称矩阵
• 伴随矩阵A*（n×n）
  • 定义
    • A*=[aji的代数余子式]
      • 注意排列顺序
  • 求法
    • 用定义
    • 用公式
  • 公式
    • AA*=A*A=|A|E => A*=|A|×A的逆 |A*|=|A|^(n-1)
  • 结论
    • n，r(A)=n r(A*) = 1，r(A)=n-1 0，r(A)<n-1
      • 极其重要！
• 可逆矩阵（A逆n×n）
  • 定义
    • AB=BA=E
  • 公式
    • （kA)逆=(1/k)A逆 (AB)逆=B逆×A逆 (Aⁿ)逆=(A逆)ⁿ
  • 结论
    • n阶矩阵满足AB=E，则必有BA=E
    • <=>|A|≠0 <=>r(A)=n A可逆<=>A的行（列）向量组线性无关 <=>A=P₁P₂......Ps，P为初等矩阵 <=>A与E等价 <=>0不是A的特征值
• 初等变换（行或列）
  • 非0常数×某行每个元素
  • 互换两行元素
  • 某行k倍加到另一行对应元素
• 初等矩阵
  • 定义
    • E经过1次初等变换得到的矩阵
  • 类型
    • Ei(k)
      • i行×k
      • i列×k
    • Ei,j
      • 互换i,j行
      • 互换i,j列
    • Ei,j(k)
      • i行k倍加到j行
      • j列k倍加到i列
      • 注意顺序
  • 与矩阵相乘
    • PA
      • A做与P一样的行变换
    • AP
      • A做与P一样的列变换
  • 初等矩阵的逆
    • Ei(k)的逆：Ei(1/k)
    • Ei,j的逆：Ei,j
    • Ei,j(k)的逆：Ei,j(-k)
  • 等价矩阵
    • 存在可逆矩阵P，Q使得，PAQ=B
    • A经过有限次初等变换得到B
  • 初等变换后矩阵秩不变
• 秩
  • 行秩=列秩=矩阵的秩
  • r(A)=r(A转置) r(A×A转置)=r(A)
  • r(A+B)≤r(A)+r(B) r(AB)≤min{r(A),r(B)}
  • 若B可逆，则r(A)=r(AB)=r(BA)
  • Am×n, Bn×s，AB=O，则r(A)+r(B)≤n
  • 重要！一定要熟练
• 正交矩阵
  • 定义
    • A×A转置=A转置×A=E
  • 正交矩阵的行（列）向量均为单位向量，且两两正交
  • A，B为正交矩阵，则|A|+|B|=0 => |A+B|=0
• 矩阵题型
  • 矩阵运算
    • 注意区分α×β转置，α转置×β
    • 矩阵的n次方
      • r(A)=1，则A=α×β转置，Aⁿ=k×α×β转置，k=β转置×α
      • A矩阵有如下特征：对角线及以上（下）的元素均为0， 则Aⁿ有如下特征：次数每+1，0的阶数+1 若Aⁿ只剩1阶，则唯一不为0的元素为A最长斜线上元素的乘积；再增加次数，Aⁿ=O
      • A=P逆×B×P，则Aⁿ=P逆×Bⁿ×P
  • 关于伴随矩阵
    • 用定义
    • 用公式
  • 关于可逆矩阵
    • 用A*
    • 用初等行变换：(A|E)——>(E|A逆)
  • 关于初等矩阵
  • 关于正交矩阵
    • 注意利用定义，用E恒等变形
• A逆=A转置 |A|=±1
• 每种类型都有两种读法，在进行矩阵乘法时注意区分