导图社区 九年级上册数学
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编辑于2022-09-08 11:29:01 江苏省九年级数学上册
第二十一章 一元二次方程
概述
定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数为2的方程称为一元二次方程。
一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0) ,其中ax2称为二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。
解:使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。一元二次方程可以有两个不等的根,也可以只有一个根,也可以没有根。
解一元二次方程
步骤:先将一元二次方程改写为一般形式(利用等式的性质),然后降次,最后解一元一次方程。
降次
定义:把一个一元二次方程转化为几个一元一次方程的过程称为降次。
方法
配方法:使用等式的性质,将一元二次方程的等号的一边转化成完全平方式,然后再在等式的两边同时开平方,从而实现降次的方法。
公式法
判别式:式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式。通常用希腊字母“Δ”表示它,Δ=b2-4ac。
1.当判别式等于0时,方程有一个实数根。 2.当判别式大于0时,方程有两个实数根。 3.当判别式小于0时,方程无实数根。
求根公式:当判别式大于等于0时,方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为: 这个式子叫做方程的求根公式。
因式分解法:把一元二次方程的一般形式分解成两个一次二项式乘积=0的形式,进而得到方程解。
一元二次方程根与系数的关系:两个根的和等于一次项系数除二次项系数的相反数,两个根的积等于常数项除以二次项的系数。
一元二次不等式
一元二次不等式,是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 、ax²+bx+c<0(a不等于0)。
一元二次不等式也可通过配方法,因式分解法等方法求解。
第二十二章 二次函数
有关概念
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数
二次项:ax²(a≠0)
一次项:bx
常数项:c
表示
一般式
y=ax²+bx+c(a≠0)
顶点式
y=a(x-h) ²+k
交点式
y=a(x+b)(x+c)
图像与性质
y=ax²
图像:对称轴为y轴的抛物线
顶点(0,0)
y=a(x-h)²+k
图像:对称轴为直线x=h的抛物线
顶点(h,k)
y=ax²+bx+c
图像:对称轴为直线x=-2a/b的抛物线
顶点(-2a/b,4ac-b²/4a)
b
b=0,对称轴为y轴
ab>0,对称轴在y轴左侧
ab<0,对称轴在y轴右侧
左同右异
c
c=0,经过原点
c>0,与y轴正半轴相交
c<0,与y轴负半轴相交
增减性
当a>0时,开口向上
对称轴左边,y随x的增大而增大
对称轴右边,y随x的增大而减小
函数有最小值
当a<0时,开口向下
对称轴左边,y随x的增大而减小
对称轴右边,y随x的增大而增大
函数有最大值
平移 y=a(x-h)²+k
上下平移
向上平移m个单位:y=a(x-h)²+k+m
向下平移m个单位:y=a(x-h)²+k-m
左右平移
向左平移m个单位:y=a(x-h+m)²+k
向右平移m个单位:y=a(x-h-m)²+k
开口大小
│a│越大,开口越大
│a│越小,开口越小
应用
用待定系数法求函数解析式
1.设
2.代
3.解
4.还原
解决实际问题
抛物线型问题
最值问题
利润最值问题
面积最值问题
与一元二次方程的关系
利用△求图像与x轴是否有交点
△=b²-4ac
△>0时,有两个交点
△=0时,有一个交点
△<0时,与x轴无交点
利用二次函数图像求方程的根
第二十三章 旋转
旋转
定义:将一个平面图形在平面内绕某个点转动一个角度,称为旋转。
物体围绕着旋转的点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角,图形上的一个点T,经过旋转变为点F,这两个点称为对应点。
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等。
旋转对称
如果一个图形绕某点O旋转角度A后的图形与原图形重合,则此图形关于点O有角A的旋转对称。
把正N边形围绕其中心旋转的整数倍后,所得的正N边形与原正多边形重合,那么正N边形关于其中心有的旋转对称。
中心对称
定义:把一个图形围绕某一点旋转180度,如果图形重合,那么这两个图形中心对称,或关于这个点对称,这个点称为对称中心。
性质:中心对称的两个图形对称点所连线段,都经过对称中心,且被对称中心平分。中心对称的两个图形是全等图形。
原点对称坐标:当两个平面直角坐标系的点关于原点对称时,他们相应的坐标符号相反。
第二十四章 圆
位置关系
点与圆
点在圆内d<r
点在圆上d=r
点在圆外d>r
圆与圆
外离
外切
相交
内切
内含
直线与圆
相交
条件:d<r
比例线段
相切
条件:d=r
切线
判定方法
①和圆只有一个交点
②到圆心的距离等于半径
③定理:过半径外端;垂直此半径
性质
切线垂直过切点的半径(直径)
直线过圆心,垂直于切线〓直线过切点
直线过切点,垂直于切线〓直线过圆心
切线长
切线长相等
圆心与该点连线平分夹角
弦切角
定理:弦切角〓所对圆周角
相离
条件d>r
圆与正多边形
关系
外接
正多边形只有一个外接圆
内切
正多边形只有一个内切圆
计算
内角和〓(n-2)X180
半内角〓Ⅰ80/n
正多边形的相关知识
中心
外切圆或内切圆的圆心
半径
外接圆半径
边心距
内切圆半径
对称性
轴对称:n为奇数
轴对称,中心对称:n为偶数
三角形与圆
内切
内心:内切圆圆心
半径:R=2s/三边之和
切线长:切线=ab+ac-bc/2
外接
外心〓外接圆圆心
锐角三角形:外心在三角形内
直角三角形:外心是斜边中点
钝角三角形:外心在三角形外
四边形与圆
内切
两条对边相等
外接
对角互补
外角〓内对角
基础
相关概念
性质
圆的对称性:既是轴对称图形,又是中心对称图形
垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
弧,弦,圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果有两个圆心角,两条弦,两条弧中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等
三角形的内心和外心
⑴:确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆
⑵:三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的的外心
⑶:三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆,叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心就是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心
角
①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数
②圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆相交的角叫做圆周角圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
☆圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
③圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形 ☆圆内接四边形对角互补:它的一个外角等于它相邻内角的对角
弧
优弧:大于半圆的弧
等弧:同圆或等圆中能够重合的两个弧
劣弧:小于半圆的弧
弦
直径(弦心距为零)
弦心距:圆心到直线的距离
含义
到定点的距离等于定长的点集
指圆周非圆面
计算
扇形
弧长:l=n兀R/180
面积S=lR/2或S=n兀R2/360
圆
周长:C=2兀R
面积:S=兀R2
第二十五章 概率初步
随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件。
不可能事件:必然不会发生的事件。
必然事件:一定会发生的事件。
概率定义:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的值,我们称之为概率P(A)。
概率的计算:如果在一次试验中,有N种可能的结果,且他们发生的可能性都相等,事件A包含其中M种结果,那么事件A发生的概率是:
在中,有0≤≤1。因此0≤P(A)≤1。当A为必然事件时,P(A)=1,当A为不可能事件时,P(A)=0。事件发生的可能性越大,事件的概率就越接近1,反之亦然。
列举法求概率:在计算概率的时候,当可能的结果是有限且均等的,那么我们可以把结果全部列出来,然后再进行计算,这种方法称为列举法求概率。
频率估计概率:如果一个事件可能的结果是无限的,那么可以通过频率估计概率。对于一般的随机事件,做大量重复试验时,随着实验次数的增加,一个事件出现的频率总在一个固定数附近摆动。因此,可以通过大量重复实验,用一个随机事件发生的频率来估算这个随机事件的概率。