圆（初级）

初三数学思维导图（以前的会补发）

圆（初级）

• 圆的有关概念
  • 1.圆的概念及特性
    • （1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
    • （2）线段OA叫圆的半径，点O叫做圆心.
    • （3）圆的符号用⊙表示，圆心是O的圆表示为⊙O，读作O.
    • （4）圆的特性：圆上各点（点A不包括点B、C）到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r的长度）；到定点的距离等于定长的点都在一个圆上.
    • （5）（圆的高中定义）圆是到定点的距离等于定长的集合.
  • 2.弦、弧
    • （1）连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦是直径.
    • （2）如图所示，圆上两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弧的符号是“⌒”.
    • （3）直径把圆分成两个半圆，小于半圆的弧叫劣弧，用两个字母表示，例如图中的⌒AC，读作弧AC；
    • （4）大于半圆的弧叫优弧，用三个字母表示求，例如：⌒ABC，读作弧ABC.
    • （5）注意：直径是最长的弧，直径把一个圆分成了两个半圆.
  • 3.等圆、等弧
    • （1）能够重合的两个圆是等圆；半径相等的圆是等圆；如果两个圆是等圆，那么这两个圆的半径相等.
    • （2）在同圆或等圆中，能够重合的两个弧是等弧；如果两个弧是等弧，那么这两个弧的长度一定相等；长度相等的两个弧不一定是等弧.
• 圆的轴对称性与垂直经定理
  • 1.直径所在直线是对称轴/过圆点的直线是对称轴.
  • 2.圆心到弦的垂线段的长度叫做弦心距.
  • 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的两条弧. 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，则有AM＝BM，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD.
  • 4.垂径定理的两个条件：①直径；②垂直于弦.结论：③平分弦；④平分弦所对的两条弧.
  • 5.垂直定理的推论：平分弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧.
  • 6.知二推一：知①③→②④ 等腰三角形三线合一 知①④→②① 等腰三角形三线合一 知②③→①④ 等腰三角形三线合一 知④②→①③ 等腰三角形三线合一 知③④→①② 等腰三角形三线合一
• 弧、弦、圆心角之间的关系
  • 1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
  • 2.圆不仅是轴对称图形圆，也是中心对称图形，它的对称中心是圆心，把圆绕圆心旋转，任意一个角度都可以与自身重合，所以圆也是旋转对称图形.
  • 3.圆心角的两边和圆有两个交点，这两个点之间的弧是圆心角所对的弧连接，这两个点的线段是圆心角所对的弦.
  • 4.圆心角所对的弧唯一所对的弦唯一，弧所对的圆心角唯一，所对的弦唯一，但弦所对的弧不唯一.（有优弧和劣弧）
  • 5.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
  • 6.重要结论
    • （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
    • （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等.
  • 7.在同圆或等圆中，两个圆心角、这两个圆心角所对的弧、这两个圆心角所对的弦、这三组量中，有一组等量，其余两组量就相等.（弦所对的弧不一定相等）
• 圆周角
  • 1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：①角的顶点在圆上②角的两边都与圆相交.
  • 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
  • 3.推论
    • （1）同弧和等弧所对的圆周角都相等.
    • （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所在的弦是直径.
  • 4.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的内接圆.
  • 5.圆内接多边形的对角互补.
  • 6.等弧对应的弦相等，，对应的圆心角相等，对应的圆周角相等； 相等的圆心角对应的弦相等，对应的弧相等，对应的圆周角相等； 相等的圆周角对应的圆心角相等，对应的弦相等，对应的弧相等； 相等的弦对应的优狐劣弧相等，对应的圆心角相等，对应的圆周角相等或互补.
• 常见题常见解法
  • 勾股定理
  • 子主题
  • 遇见比例设X
  • 做连接
  • 做垂直
• 解题技巧
  • 当题中两个等量条件较远时，要找中间量联系两个已知量