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图形与几何
几何图形，即从实物中抽象出的各种图形，可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界。生活中到处都有几何图形，我们所看见的一切都是由点、线、面等基本几何图形组成的。
编辑于2022-09-10 10:38:42 天津市- 几何
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- 大纲
图形与几何
1. 一维
1.1. 线
1.1.1. 线的性质
1.1.1.1. 线是由无数个点集合成的图形
1.1.1.2. 线是由一个动点运动时产生的图形
1.1.1.3. 线是无宽度的长度
1.1.2. 直线
1.1.2.1. 直线
1.1.2.1.1. 直线的定义
1.1.2.1.1.1. 可以向两端无限延伸可以向两端无限延伸
1.1.2.2. 射线
1.1.2.2.1. 射线的定义
1.1.2.2.1.1. 一端被固定，另一端可以无限延伸
1.1.2.3. 线段
1.1.2.3.1. 线段的定义
1.1.2.3.1.1. 两端都被固定，有固定的长度，无法延伸
1.1.3. 曲线
1.1.3.1. 弧线
1.1.3.1.1. 弧线的定义
1.1.3.1.1.1. 圆周长上的一部分
1.1.3.2. 圆锥曲线
1.1.3.2.1. 圆锥曲线的定义
1.1.3.2.1.1. 圆锥与平面的截线（截线：同时穿过两条直线/线段或两条以上的线系的直线/线段）
1.1.3.3. 割圆曲线
1.1.3.3.1. 希庇亚斯发现的一种曲线
1.1.3.4. 螺旋线
1.1.3.4.1. 螺旋线的定义
1.1.3.4.1.1. 曲线上每一点的切向量始终与一固定方向交与定角的线（随意画出的曲线不算在内）（曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量）
1.2. 平面图形的周长
1.2.1. 长方形的周长
1.2.1.1. 长方形周长公式
1.2.1.1.1. C长=（长+宽）x2
1.2.1.1.1.1. 用字母表示为：Ｃ长=2（a+b)
1.2.2. 正方形的周长
1.2.2.1. 正方形周长公式
1.2.2.1.1. C长=边长x4
1.2.2.1.1.1. 用字母表示为：C长=4a
1.2.3. 三角形的周长
1.2.3.1. 三角形周长公式
1.2.3.1.1. C △=边长+边长+边长
1.2.3.1.1.1. 用字母表示为：C △=a+b+c
1.2.4. 圆形的周长
1.2.4.1. 圆形周长公式
1.2.4.1.1. C圆= πx直径
1.2.4.1.1.1. 用字母表示为：C圆= πd
1.2.4.1.2. C圆=2x πx半径
1.2.4.1.2.1. 用字母表示为：C圆=2 πr
1.2.4.2. 圆形周长公式推导过程
1.2.4.2.1. π就是圆直径与周长的比，所以直接用直径x π就得出圆形周长
1.2.5. 扇形的周长
1.2.5.1. 扇形周长公式
1.2.5.1.1. C扇=直径+ xπx直径
1.2.5.1.1.1. 用字母表示为：C扇=d+ xπxd
1.2.5.1.2. C扇=2x半径+ x2x πx半径
1.2.5.1.2.1. 用字母表示为：c扇=2r+ x πx2r
1.2.5.2. 扇形周长公式推导过程
1.2.5.2.1. 扇形的周长由圆弧与一条直径构成，扇形周长的圆弧：整圆的周长=扇形的圆心角：360，所以扇形周长的圆弧=n/360x整圆周长+直径
1.2.6. 圆环的周长
1.2.6.1. 圆环周长公式
1.2.6.1.1. 外圆周长+内圆周长
1.3. 立体图形的棱长
1.3.1. 长方体的棱长
1.3.1.1. 长方体棱长公式
1.3.1.1.1. 长方体棱长=(长x宽x高)x3
1.3.1.1.1.1. 用字母表示为：长方体棱长=(axbxh)x3
1.3.2. 正方题的棱长
1.3.2.1. 正方体棱长公式
1.3.2.1.1. 正方体棱长=12x边长
1.3.2.1.1.1. 用字母表示为：正方体棱长=12a
1.4. 长度单位
1.4.1. 长度单位的意义
1.4.2. 千米/公里（km）
1.4.3. 米（m）
1.4.4. 分米（dm）
1.4.5. 厘米（cm）
1.4.6. 毫米（mm）
1.4.7. 微米（μm）
1.4.8. 纳米（nm）
1.4.9. 皮米（pm）
1.5. 长度单位换算
1.5.1. 1千米=1000米
1.5.2. 1米=10分米
1.5.3. 1分米=10厘米
1.5.4. 1厘米=10毫米
1.5.5. 1毫米=1000微米
1.5.6. 1微米=1000纳米
1.5.7. 单位换算
1.5.7.1. 1千米=1000米=10000分米=10’0000厘米=100‘0000毫米=10‘0000’0000微米=1‘0000’0000‘0000纳米
2. 三维
2.1. 立体图形的定义
2.1.1. 立体图形是各部分不在同一平面内的几何图形，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形。点动成线，线动成面，面动成体。即由面围成体，看一个长方体，正方体等的规则立体图形最多看到立体图形实物的三个面，也是对现实物体认识上的一种抽象，即把现实的物体在只考虑其形状和大小，而忽略其它因素的基础上在平面上的表示
2.2. 立体图形的体积
2.2.1. 长方体的体积
2.2.1.1. 长方体定义
2.2.1.1.1. 长方体(又称矩体)是底面为长方形的直四棱柱（或上、下底面为矩形的直平行六面体）。其由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形
2.2.1.2. 长方体性质
2.2.1.2.1. 长方体有6个面。每组相对的面完全相同。
2.2.1.2.2. 长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱
2.2.1.2.3. 长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长，宽，高
2.2.1.2.4. 长方体相邻的两条棱互相垂直
2.2.1.3. 长方体体积公式
2.2.1.3.1. V长=长x宽x高
2.2.1.3.1.1. 用字母表示为：V长=abh
2.2.1.4. 长方体体积公式推导过程
2.2.1.4.1. 把长方体切成许多个棱长为1的正方体，小正方体的体积是1立方平米，所以长方体中有多少个小正方体，长方体的体积就是多少。小正方体的数量=每排的个数x排数x层数，所以长方体的体积等于长x宽x高
2.2.2. 正方体的体积
2.2.2.1. 正方体定义
2.2.2.1.1. 正方体，又称立方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体、正方体或正立方体。它有12条棱（边）和8个顶（点），是五个柏拉图立体之一。立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三角偏方面体、菱形多面体、平行六面体，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有正八面体对称性，即考克斯特BC3对称性，施莱夫利符号，考克斯特-迪肯符号，与正八面体对偶
2.2.2.2. 正方体性质
2.2.2.2.1. 正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面都完全相同
2.2.2.2.2. 正方体有12条棱，每一条棱长度都完全相同
2.2.2.2.3. 正方体有8个顶点，每个点都连接着3条棱
2.2.2.2.4. 正方体相邻的两条棱相互垂直
2.2.2.3. 正方体体积公式
2.2.2.3.1. V正=棱长×棱长×棱长
2.2.2.3.1.1. 用字母表示为：V正=a³
2.2.2.4. 正方体体积公式推导过程
2.2.2.4.1. 因为长方体的体积等于长x宽x高，把正方体的棱长看作长，宽，高，正方体的体积就等于棱长x棱长x棱长
2.2.3. 圆柱体的体积
2.2.3.1. 圆柱体定义
2.2.3.1.1. 旋转定义法
2.2.3.1.1.1. 一个长方形以一边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体
2.2.3.1.2. 平移定义法
2.2.3.1.2.1. 以一个圆为底面，上或下移动一定的距离，所经过的空间叫做圆柱体
2.2.3.2. 圆柱体性质
2.2.3.2.1. 圆柱体的两个圆面叫底面，这两个底面完全相同，连接两个底面的面叫侧面，一个圆柱体是由两个底面和一个侧面组成的
2.2.3.2.2. 圆柱体的高是从一个底面到另一个底面的距离，圆柱体有无数条高
2.2.3.3. 圆柱体体积公式
2.2.3.3.1. V柱= πx半径x半径x高
2.2.3.3.1.1. 用字母表示为：V柱= πr²h
2.2.3.4. 圆柱体体积公式推导过程
2.2.3.4.1. 把圆柱如图所示拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是πr，宽是r，高是h长方形的体积是长x宽x高，所以这个近似的长方形的体积就是πr²h这个近似的长方形与圆柱的体积相等，所以圆柱的体积= πr²h
2.2.4. 圆锥体的体积
2.2.4.1. 圆锥体定义
2.2.4.1.1. 解析几何定义
2.2.4.1.1.1. 圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥
2.2.4.1.2. 立体几何定义
2.2.4.1.2.1. 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥
2.2.4.2. 圆锥体性质
2.2.4.2.1. 圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形
2.2.4.2.2. 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高
2.2.4.2.3. 圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离叫做圆锥的母线
2.2.4.2.4. 圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长，没展开时是一个曲面
2.2.4.3. 圆锥体体积公式
2.2.4.3.1. V锥= x πx半径x半径x高
2.2.4.3.1.1. 用字母表示为：V锥= πr²h
2.2.4.4. 圆锥体体积公式推导过程
2.2.4.4.1. 如图把圆锥容器中的水倒入与圆锥等地等高的圆柱（厚度忽略不计）则占圆柱体积的三分之一，圆柱的体积事πr²h，则圆锥的体积就是是1/3 πr²h
2.2.5. 球体的体积
2.2.5.1. 球体定义
2.2.5.1.1. 球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，也叫做球体。球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面，球的中心叫做球心
2.2.5.2. 球体性质
2.2.5.2.1. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
2.2.5.2.2. 2.球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r²=R²-d²
2.2.5.2.3. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆
2.2.5.2.4. 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离
2.2.5.2.5. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面
2.2.5.2.6. 这个半圆的圆心叫做球心。（球内一个点到球面上不在同一平面内的四个点的距离相等，则此点为球心）
2.2.5.2.7. 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径
2.2.5.2.8. 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
2.2.5.3. 球体体积公式
2.2.5.3.1. V球= x πx半径x半径x半径
2.2.5.3.1.1. 用字母表示为：V球= πr³
2.3. 其他立体图形
2.3.1. 棱柱
2.3.1.1. 棱柱定义
2.3.1.1.1. 上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱
2.3.1.1.2. 上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱
2.3.2. 棱锥体
2.3.2.1. 棱锥体定义
2.3.2.1.1. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥体。
2.3.3. 直三棱柱
2.3.3.1. 直三棱柱定义
2.3.3.1.1. 三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形
2.3.4. 椭球体
2.3.4.1. 椭球体的定义
2.3.4.1.1. 地球椭球体又称“地球扁球体”。代表地球大小和形状的数学曲面。以长半径和扁率表示。因它十分迫近于椭球体，故通常以参考椭球体表示地球椭球体的形状和大小。椭圆绕其短轴旋转所成的形体，并近似于地球大地水准面。大地水准面的形状即用相对于参考椭球体的偏离来表示。通常所说地球的形状和大小，实际上就是以参考椭球体的半长径、半短径和扁率来表示。1975年国际大地测量与地球物理联合会推荐的数据为：半长径6378140米，半短径6356755米，扁率1∶298.257。通俗地说就是将大地体绕短轴飞速旋转所形成的一个表面光滑的，规则的地球形体。是对地球形体的描述，是为了测量成果的计算和测图工作的需要而定义的
2.3.5. 圆台
2.3.5.1. 圆台的定义
2.3.5.1.1. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
2.4. 体积单位
2.4.1. 体积单位的意义
2.4.1.1. 表示物件占有多少空间的量
2.4.2. 立方千米（k m³）
2.4.3. 立方米（m³）
2.4.4. 立方分米（dm³）
2.4.5. 立方厘米（cm³）
2.4.6. 立方毫米（mm³）
2.5. 体积单位换算
2.5.1. 1立方千米=100‘0000立方米
2.5.2. 1立方米=1000立方分米
2.5.3. 1立方分米=1000立方厘米
2.5.4. 1立方厘米=1000立方毫米
2.5.5. 单位换算
2.5.5.1. 1立方千米=100‘0000立方米=10‘0000’0000立方分米=1000‘0000’0000立方厘米=100’0000‘0000’0000立方毫米
2.6. 容积单位
2.6.1. 容积单位的意义
2.6.1.1. 容积是指容器的内部体积
2.6.2. 吨（t）
2.6.3. 升（L）
2.6.4. 毫升（mL)
2.7. 容积单位换算
2.7.1. 1吨=1立方米
2.7.2. 1升=1立方分米
2.7.3. 1毫升=1立方厘米
2.7.4. 1吨=1000升=100‘0000升=1立方米=1000立方分米 =100‘0000立方厘米=10‘0000’0000立方毫米
3. 二维
3.1. 平面图形的定义
3.1.1. 平面图形是几何图形的一种，指所有点都在同一平面内的图形，如直线、三角形、平行四边形等都是基本的平面图形
3.2. 角
3.2.1. 角的定义
3.2.1.1. 静态定义
3.2.1.1.1. 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
3.2.1.2. 动态定义
3.2.1.2.1. 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。意义：为了消除运算局限，突破角度范围
3.2.2. 角的分类（按角度分）
3.2.2.1. 零角
3.2.2.1.1. 零角的定义
3.2.2.1.1.1. 等于0°的角叫做零角
3.2.2.2. 劣角
3.2.2.2.1. 劣角的定义
3.2.2.2.1.1. 大于0°小于180°叫做劣角
3.2.2.2.2. 锐角
3.2.2.2.2.1. 锐角的定义
3.2.2.2.2.1.1. 大于0°，小于90°的角叫做锐角
3.2.2.2.3. 直角
3.2.2.2.3.1. 直角的定义
3.2.2.2.3.1.1. 等于90°的角叫做直角
3.2.2.2.4. 钝角
3.2.2.2.4.1. 钝角的定义
3.2.2.2.4.1.1. 大于90°而小于180°的角叫做钝角
3.2.2.3. 平角
3.2.2.3.1. 平角的定义
3.2.2.3.1.1. 等于180°的角叫做平角
3.2.2.4. 优角
3.2.2.4.1. 优角的定义
3.2.2.4.1.1. 大于180°小于360°的角叫做优角
3.2.2.5. 周角
3.2.2.5.1. 周角的定义
3.2.2.5.1.1. 等于360°的角叫做周角
3.2.3. 角的分类（按旋转方向
3.2.3.1. 负角
3.2.3.1.1. 负角的定义
3.2.3.1.1.1. 按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
3.2.3.2. 正角
3.2.3.2.1. 正角的定义
3.2.3.2.1.1. 逆时针旋转的角叫做正角
3.3. 平面图形的面积
3.3.1. 直线图形的面积
3.3.1.1. 长方形的面积
3.3.1.1.1. 长方形定义
3.3.1.1.1.1. 长方形也叫矩形，是一种平面图形，是有一个角是直角的平行四边形。长方形也定义为四个角都是直角的平行四边形。正方形是四条边长度都相等的特殊长方形
3.3.1.1.2. 长方形性质
3.3.1.1.2.1. 长方形的两条对角线相等
3.3.1.1.2.2. 长方形的两条对角线互相平分
3.3.1.1.2.3. 长方形的两组对边分别平行
3.3.1.1.2.4. 长方形的两组对边分别相等
3.3.1.1.2.5. 长方形的四个角都是直角
3.3.1.1.2.6. 长方形有2条对称轴
3.3.1.1.2.7. 长方形具有不稳定性（易变形）
3.3.1.1.2.8. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
3.3.1.1.3. 长方形面积公式
3.3.1.1.3.1. Ｓ长=长x宽
3.3.1.1.3.1.1. 用字母表示为：Ｓ长=ab
3.3.1.1.4. 长方形面积公式推导过程
3.3.1.1.4.1. 如图把边长为7厘米，宽5厘米的长方形中画出边长是1厘米的正方形，长方形的长上有7个边长为1的正方形，长方形的宽上有5个边长为1的正方形，求出长方形上有多少个正方形就是用长方形长上有多少个正方形乘长方形宽上有多少个正方形。每个正方形的面积是1x1=1平方厘米，所以长方形内有多少个正方形就是面积是多少平方厘米。得出Ｓ长=长x宽
3.3.1.2. 正方形的面积
3.3.1.2.1. 正方形定义
3.3.1.2.1.1. 正方形，是特殊的平行四边形之一。即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形，又称正四边形。还具有矩形和菱形的全部特性
3.3.1.2.2. 正方形性质
3.3.1.2.2.1. 对角线相等的菱形是正方形
3.3.1.2.2.2. 有一个角为直角的菱形是正方形
3.3.1.2.2.3. 对角线互相垂直的矩形是正方形
3.3.1.2.2.4. 一组邻边相等的矩形是正方形
3.3.1.2.2.5. 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
3.3.1.2.2.6. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
3.3.1.2.2.7. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
3.3.1.2.2.8. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
3.3.1.2.2.9. 既是菱形又是矩形的四边形是正方形
3.3.1.2.3. 正方形面积公式
3.3.1.2.3.1. S正=边长x边长
3.3.1.2.3.1.1. 用字母表示为：S正=a ·a
3.3.1.2.4. 正方形面积公式推导过程
3.3.1.2.4.1. 因为长方形的面积等于长x宽，所以正方形的一条边长当作长，另一条边当作宽，面积就等于边长x边长。S正=边长x边长
3.3.1.3. 平行四边形的面积
3.3.1.3.1. 平行四边形定义
3.3.1.3.1.1. 平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形且是一个中心对称图形
3.3.1.3.2. 平行四边形的性质
3.3.1.3.2.1. 平行四边形的两组对边分别相等
3.3.1.3.2.2. 平行四边形的两组对角分别相等
3.3.1.3.2.3. 平行四边形的邻角互补
3.3.1.3.2.4. 平行四边形的对角线互相平分
3.3.1.3.2.5. 连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形
3.3.1.3.2.6. 平行四边形的面积等于底和高的积
3.3.1.3.2.7. 过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形
3.3.1.3.2.8. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点
3.3.1.3.2.9. 平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。（正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质）
3.3.1.3.2.10. 平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和
3.3.1.3.2.11. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份
3.3.1.3.2.12. 平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角
3.3.1.3.3. 平行四边形面积公式
3.3.1.3.3.1. S平=底x高
3.3.1.3.3.1.1. S平=ah
3.3.1.3.4. 平行四边形面积公式推导过程
3.3.1.3.4.1. 如图把平行四边形如图拼成一个长方形，这个长方形的底是平行四边形的底，这个长方形的高是平行四边形的高，所以平行四边形的面积等于底x高。S平=底x高
3.3.1.4. 三角形的面积
3.3.1.4.1. 三角形分类
3.3.1.4.1.1. 按角度分
3.3.1.4.1.1.1. 锐角三角形
3.3.1.4.1.1.1.1. 锐角三角形定义
3.3.1.4.1.1.1.1.1. 三角形的三个内角都小于90度
3.3.1.4.1.1.2. 直角三角形
3.3.1.4.1.1.2.1. 直角角三角形定义
3.3.1.4.1.1.2.1.1. 三角形的三个内角中一个角等于90度
3.3.1.4.1.1.2.2. 直角三角形特点
3.3.1.4.1.1.2.2.1. 勾股定理
3.3.1.4.1.1.2.2.1.1. 勾股定理推导过程
3.3.1.4.1.1.2.2.2. 两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形
3.3.1.4.1.1.3. 钝角三角形
3.3.1.4.1.1.3.1. 钝角三角形定义
3.3.1.4.1.1.3.1.1. 三角形的三个内角中有一个角大于90度
3.3.1.4.1.2. 按边分
3.3.1.4.1.2.1. 等腰三角形
3.3.1.4.1.2.1.1. 等边三角形
3.3.1.4.1.2.1.1.1. 3、等边三角形。等边三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质
3.3.1.4.1.2.1.2. 直角等腰三角形
3.3.1.4.1.2.1.2.1. 两底角等于45°
3.3.1.4.1.2.1.2.2. 两腰相等
3.3.1.4.1.2.1.3. 一般等腰三角形
3.3.1.4.1.2.1.3.1. 等腰三角形指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。等腰三角形的腰与它的高的关系，直接的关系是：腰大于高
3.3.1.4.1.2.2. 一般三角形
3.3.1.4.2. 三角形定义
3.3.1.4.2.1. 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形
3.3.1.4.3. 三角形性质
3.3.1.4.3.1. 有三条边，三个顶点
3.3.1.4.3.2. 内角和是180 °
3.3.1.4.4. 三角形面积公式
3.3.1.4.4.1. S △=底x高÷2
3.3.1.4.4.1.1. 用字母表示为：S △=ah ÷2
3.3.1.4.5. 三角形面积公式推导过程
3.3.1.4.5.1. 如图把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是三角形的底，这个平行四边形的高是三角形的高。平行四边形的面积是底x高，因为这是两个三角形拼成的平行四边形，所以再除2就是一个三角形的面积。S △=底x高÷2
3.3.1.5. 梯形的面积
3.3.1.5.1. 梯形分类
3.3.1.5.1.1. 等腰梯形
3.3.1.5.1.1.1. 等腰梯形的定义
3.3.1.5.1.1.1.1. 等腰梯形是一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形。他是一个平面图形，是一种特殊的梯形
3.3.1.5.1.2. 直角梯形
3.3.1.5.1.2.1. 直角梯形的定义
3.3.1.5.1.2.1.1. 直角梯形是指有一个直角的梯形，两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等，一个腰上的两角都是直角
3.3.1.5.1.3. 一般梯形
3.3.1.5.2. 梯形定义
3.3.1.5.2.1. 梯形是只有一组对边平行的四边形 。平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高
3.3.1.5.3. 梯形性质
3.3.1.5.3.1. 梯形的上底和下底平行但是不相等
3.3.1.5.3.2. 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线
3.3.1.5.3.3. 等腰梯形的两条对角线相等
3.3.1.5.3.4. 等腰梯形在同一底上的两个底角相等
3.3.1.5.4. 梯形面积公式
3.3.1.5.4.1. S梯=（上底+下底）÷2
3.3.1.5.4.1.1. 用字母表示为=(a+b) ÷2
3.3.1.5.5. 梯形面积公式推导过程
3.3.1.5.5.1. 如图把两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是梯形的上底加下底，这个平行四边形的高还是梯形的高。求出这个平行四边形的面积等于梯形的上底加梯形的下底再乘高，因为这是两个梯形的面积，所以要再除以2，就是梯形的面积S梯=（上底+下底）÷2
所有平面图形的面积的万能公式：（上底+下底）÷2
3.3.2. 曲线图形的面积
3.3.2.1. 圆形的面积
3.3.2.1.1. 圆形定义
3.3.2.1.1.1. 在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆
3.3.2.1.2. 圆形性质
3.3.2.1.2.1. 圆是轴对称图形，对称轴在过圆心的直线上，圆有无数条对称轴。圆同时也是中心对称图形，对称中心有仅有一个，位于圆的圆心
3.3.2.1.3. 圆形面积公式
3.3.2.1.3.1. S圆= πxrxr
3.3.2.1.3.1.1. S圆= πr²
3.3.2.1.4. 圆形面积公式推导过程
3.3.2.1.4.1. 如图把圆形拼成一个近似的长方形，利用极限的思想。这个近似的长方形的长是πr，这个近似的长方形的宽是r，这个近似的长方形的面积就是πr²因为这个近似的长方形和圆形的面积相等，所以圆形的面积= πr²
3.3.2.2. 扇形的面积
3.3.2.2.1. 扇形定义
3.3.2.2.1.1. 一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形
3.3.2.2.2. 扇形面积公式
3.3.2.2.2.1. S扇= x πx半径x半径
3.3.2.2.2.1.1. 用字母表示为：s扇= x πr²
3.3.2.2.2.2. 扇形的面积就是扇形圆心角占整圆的圆心角（360），扇形的圆心角占整圆的圆心角的比值就是扇形的面积占整圆的面积，所以s扇=n/360x πr²
3.3.2.3. 圆环的面积
3.3.2.3.1. 圆环定义
3.3.2.3.1.1. 圆环相当于一个空心的圆，空心圆拥有一个小半径，整个圆有一个大半径，整个圆的半径减去空心圆半径就是环宽
3.3.2.3.2. 圆环面积公式
3.3.2.3.2.1. S环= π（大半径-小半径)x（大半径-小半径）
3.3.2.3.2.1.1. 用字母表示为：S环= π（大r-小r）²
3.3.2.3.3. 圆环面积公式推导过程
3.3.2.3.3.1. 就是用大圆减小圆
3.3.2.4. 特殊
3.3.2.4.1. 方中圆
3.3.2.4.1.1. 在方中圆中，正方形与圆形的面积比=4: π
3.3.2.4.2. 圆中方
3.3.2.4.2.1. 在圆中方中，圆形与正方形的面积是π：2
3.3.3. 特殊的面积公式
3.3.3.1. 完全平方公式
3.3.3.1.1.
3.3.3.2. 平方差公式
3.3.3.2.1.
3.4. 立体图形的表面积
3.4.1. 长方体的表面积
3.4.1.1. 长方体表面积公式
3.4.1.1.1. S表=（长x宽+长x高+宽x高）x2
3.4.1.1.1.1. 用字母表示为：S表=（ab+ah+bh）x2
3.4.1.2. 长方体表面积公式推导过程
3.4.1.2.1. 长方体的表面积就是长方体的前面，上面，侧面加在一起x2长方体的前面的面积是长x高，长方体上面的面积是长x宽，长方体侧面的面积是宽x高，把他们加在一起，就是S表=（长x宽+长x高+宽x高）x2
3.4.2. 正方体的表面积
3.4.2.1. 正方体表面积公式
3.4.2.1.1. S表=6x边长x边长
3.4.2.1.1.1. 用字母表示为：S表=6 a²
3.4.2.2. 正方体表面积公式推导过程
3.4.2.2.1. 正方体的表面积就是正方体的每个面的面积x6，每个面的面积=边长x边长，之后再x6, 所以S表=6x边长x边长
3.4.3. 圆柱体的表面积
3.4.3.1. 圆柱体表面积公式
3.4.3.1.1. S柱=2 x πx半径x高+2x πx半径x半径
3.4.3.1.1.1. 用字母表示为：
3.4.3.1.2. S柱=2x πx半径x(半径+高）
3.4.3.1.2.1. 用字母表示为：2 πr(r+h)
3.4.3.2. 圆柱体表面积公式推导过程
3.4.3.2.1. 就是侧面积加上两个底面积，侧面积的面积是2 πrh，两个底面积的面积是2 πr²，把他们加起来，圆柱的表面积就是S柱=2 πrh+2 πr²
3.4.3.2.2. 把圆柱体打开成➡️
3.4.3.2.2.1. 把他们拼起来
3.4.4. 圆锥体的表面积（纯属个人自行推导）
3.4.4.1. 圆锥体表面积公式
3.4.4.1.1. 圆锥表面积的分解： 圆锥的表面积是由侧面积加上一个底面积构成的。侧面积展开是一个扇形，这个扇形的半径就是圆锥的母线，这个扇形的圆心角就是圆锥的顶角的角度
3.4.4.1.2. 因为圆锥侧面积的圆弧长度：圆锥侧面积所在的圆的周长=n/360，圆锥侧面积展开的扇形的圆心角：圆锥侧面积所在的周长=n/360。他们的比值一定，可以组成比例。所以圆锥侧面积的圆弧长度：圆锥侧面积所在的圆的周长=圆锥侧面积展开的扇形的圆心角：圆锥侧面积展开的扇形所在的圆的圆心角（360度）。设圆锥侧面积展开图的圆心角为x所以2πr：2πl= x：360 解得x的解为360xr/l
3.4.4.1.3. 因为扇形的面积= n/360xπxlxl所以圆锥的侧面积= n/360xπxlxl
3.4.4.1.4. 如果没有给母线的情况下如何求圆锥表面积：利用勾股定理（a² + b² = c²），把圆锥的高，半径，母线看成一个三角形。所以高x高+半径x半径=母线x母线
3.4.4.1.5. 圆锥体的表面积=
3.4.4.2. 圆锥体表面积公式推导过程
3.4.4.2.1.
3.4.5. 球体的表面积
3.4.5.1. 球体表面积公式
3.4.5.1.1. S球=4 πr²
3.4.5.1.1.1. S球=4x πx半径x半径
3.5. 其他平面图形
3.5.1. 椭圆形
3.5.1.1. 椭圆形定义
3.5.1.1.1. 椭圆形比圆形长，比圆形扁，椭圆形是由圆形变成的长圆形
3.5.1.2. 椭圆形性质
3.5.1.2.1. 椭圆形两头比圆形长
3.5.1.2.2. 椭圆形的物体不能滚动
3.5.1.2.3. 椭圆形的边缘都是圆滑的，没有棱角
3.5.1.2.4. 椭圆形从圆心到边上转一圈不一样长
3.5.1.2.5. 当椭圆形沿着最长边的中心点滚动时，留下的轨迹是波浪形的
3.6. 面积单位
3.6.1. 面积单位的意义
3.6.1.1. 面积单位指测量物体表面大小的单位
3.6.2. 平方千米（km²）
3.6.3. 公顷（h m²）
3.6.4. 亩
3.6.5. 平方米（m²）
3.6.6. 平方分米（d m²)
3.6.7. 平方厘米(c m²)
3.6.8. 平方毫米(m m²)
3.7. 面积单位换算
3.7.1. 1平方千米=100公顷
3.7.2. 1公顷=15亩
3.7.3. 1公顷=10000平方米
3.7.4. 1平方米=100平方分米
3.7.5. 1平方分米=100平方厘米
3.7.6. 1平方厘米=100平方毫米
3.7.7. 1平方千米=100公顷=1500亩=100’0000平方米=10‘0000’0000平方分米=1000‘0000’0000平方厘米=10‘0000’0000‘0000平方毫米
4. 零维
4.1. 点
4.1.1. 点的含义
4.1.1.1. 点是最简单的形状，是几何图形最基本的组成部分，在空间中作为 1 个 零维的对象。
4.1.2. 点的性质
4.1.2.1. 不可定义性：定义无效
4.1.2.2. 确定性：任意 1 个点都可以用有序数对精确地定位
4.1.2.3. 唯一性：1 组有序数对能且只能定位 1 个点
4.1.2.4. 互异性：任意两个点都是不同的对象
4.1.3. 端点
4.1.3.1. 1 条线段两端上的点或1条射线一端上的点（即线段或射线的起点或终点）
4.1.4. 切点
4.1.4.1. 直线与圆、直线与球、圆与圆、平面与球或球与球相切的交点
4.1.5. 交点
4.1.5.1. 两条直线的公共点
4.1.6. 等分点
4.1.6.1. 把 1 条线段平均分成若干条线段的点
4.1.7. 顶点
4.1.7.1. 图形的边的公共点