导图社区 2) 七上 第二章 有理数及其运算
这是一篇关于2) 七上 第二章 有理数及其运算的思维导图，其中包含实数的分类，实数的大小比较，数轴，相反数，绝对值，倒数
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有理数及其运算
概念
实数的分类
按定义分
有理数
整数
正整数
0
负整数
分数
正分数
负分数
有限小数和无限循环小数,或两个整数的比,能约成整数的数不能算是分数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
开方开不尽的数
有特定意义的数， 如圆周率 π， 或化简后含有 π 的数，
有特定结构的数， 如 0.1010010001......等
某些三角函数，
按大小分
大于0，正实数
0不是正数，不是负数
0是最小自然数，最小整数，也是偶数
小于0，负实数
实数的大小比较
利用数轴
数轴上右边的数总大于左边的数
利用性质
正数>0
数越大，数值越大
例如：8>5
负数<0
数越大，数值越小
例如：-5>-8
数值 越向数轴右边越大
正数永远大于负数
0大于负数
两个负数比较，绝对值大的反而小
作差法
设ab为两个任意的实数， 若a-b>0则a>b 若a-b<0则a<b 若a-b=0则a=b
作商法
设ab是两个任意正实数， 若a÷b>1则a>b 若a÷b<1则a<b 若a÷b=1则a=b
绝对值比较法
设 a、 b 是两负实数，
平方法
数轴
一条直线上的点表示数
在直线取一个点表示0，作为数轴原点
一般规定从左向右是正方向
数轴上的点，是关于跟原点间的距离的数据
三要素
原点
正方向
单位长度
实数与数轴上的点一一对应
数轴上的数比较大小
数轴上两点间的距离
相反数
a和-a是相反数，则a+b=0
0的相反数是0
两个数互为相反数，它们和为0
在数轴上，互为相反数的点，到原点的距离相同
相反数是成对出现, 一个数的相反数只有一个
绝对值
意义：
一个正数绝对值是他本身， 负数的绝对值，是它的相反数, 0的绝对值是0
几何意义，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
所以是这么展示
绝对值是a（a>0）的数有两个， 分别是|-a|和|a|
考逆向思维
绝对值相等的两个数相等，或者互为相反数。
若|a|=|b|，则，a=b，或者 a+b=0
倒数
定义：若ab互为倒数则ab=1
-2×-½ =1
例子： -2的倒数是-½ ， ½的倒数是2
倒数等于它本身的数是1和-1
0没有倒数
倒数就是倒转的意思
实数的运算
四则运算法则
加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
例：8+5=13， -8+(-5)=-13
绝对值相等的异号相加和为零; 绝对值不相等的异号相加，取绝对值较大的加数符号 并用较大的数的绝对值减去较小数的绝对值
例: -8+5=-3 ，-5+8=3
一个数同零相加仍得这个数
例：0+5=5， —5+0=—5
减法
定义:减去一个数，等于加这个数的相反数
a-b=a+（-b）例如： 5-2 =5+（-2）
减法法则：负负得正
例子: 6-（-2）=6+2=8
乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
同号得正
例：5×5=25， （-5）×（-5）=25
异号得负
例： 5×（-5）= -25
0乘以任何数仍得零
除法
除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数≠0）
b≠0
法则：两数相除，同号得正，异号得负（跟乘法一样）
4÷（-2）= -2
﹣4 ÷ 2 = ﹣2
0除以任何数，都得0
做有理数除法的时候，最好先把除的换成倒数，然后相乘相约
其他运算
乘方
定义：n个相同因数的积的运算，叫做乘方 ， 乘方结果叫做幂
例： 2×2=
2的平方
2×2×2=
2的立方
n是指数， a是底数
是幂
幂的注意点
任何数的零次幂（指数是0），都等于1，（除了0）
一个数的本身，就是这个数的1次方
当指数是﹣1时，就是这个数的倒数的意思
4÷2=2
—4÷（—2）=2
当指数是-2时，就是这个数的倒数的平方。负多少，按照多少来进行次方
负数的次方注意点
负数的奇次幂是负数，偶次幂是整数
奇次幂
偶次幂
正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0
0的任何次幂是0
正数的任何次幂，永远是正数
正指数
负指数
指数是0
科学记数法
定义:把一个大于10的数表示为a×10^n（1≤a≤10，n为整数)， 这种记数法叫做科学记数法
例子
小于﹣10的数，也可以这样表示
负次幂的科学计数法
例
近似数
例如圆周率π，π≈3.14
体重约54kg， 54是近似数
π约3.14，3.14是近似数
有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位， 就说它精确到哪一位， 这时， 从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字， 都叫做这个数的有效数字。
开方
平方根
如果一个数的平方等于 a， 那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根， 他们互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。
算术平方根
正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根
正数和零的算术平方根都只有一个， 零的算术平方根是零。
立方根
如果一个数的立方等于 a， 那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。
实数的运算律
加法交换律
a+b=b+a
加法结合律
（a+b）+c=a+（b+c）
添括号法则
a+b+c=a+（b+c）
a-b-c= a-(b+c)
乘法交换律
a×b=b×a
乘法结合律
（a×b）×c=a×（b×c）
乘法分配律
a（b+c）=a×b+a×c
运算注意事项
先算乘方，再算乘除，最后算加减
同级运算应从左到右依次进行
先算括号里面的，再算括号外面的,按(),[],{}依次进行
