有理数

这是一篇关于有理数的思维导图，主要内容有运算、相关概念、本章易错点、实际运用、分类、定义。

有理数

• 运算
  • 加减
    • 加法
      • 法则
        • 步骤：先定和的符号，再定和的绝对值
        • 符号法则和绝对值法则
          • 同号两数相加
          • 异号两数相加
            • 绝对值相等（互为相反数两数）相加得0
            • 绝对值不相等
          • 0和任何数相加都得0
      • 运算律
        • 交换律
        • 结合律
          • 互为相反数先结合相加
          • 同号两数先结合相加
          • 和为整数的两数先结合相加（凑整）
    • 减法
      • 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)
      • 实则为加法，与加法互为逆运算，属同级运算
  • 乘除
    • 乘法
      • 法则
        • 步骤：先定积的符号，再定积的绝对值
        • 符号法则和绝对值法则
          • 同号两数相乘
          • 异号两数相乘
          • 0和任何数相乘
          • 多个数相乘
            • 偶数个负因数相乘，积为正
            • 奇数个负因数相乘，积为负
            • 若干个因数相乘中，只要有一个因数为0，积为0
      • 运算律
        • 交换律
        • 结合律
          • 互为倒数（负倒数）的先结合
          • 能约分或积为整数的先结合
    • 除法
      • 法则
        • 步骤：先定商的符号，再定商的绝对值
        • 符号和绝对值法则及转化
          • 两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相除
      • 实则为乘法，与乘法互为逆运算，属同级运算
  • 乘方
    • 定义
    • 法则
      • 步骤：先定幂的符号，再定幂的绝对值
      • 符号法则
        • 正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数
        • 0的任何次幂都等于0
      • 绝对值法则同乘法的相同
    • 实则为特殊的乘法，与开方互为逆运算，比乘法高一级运算。
  • 有理数的混合运算
    • 加减、乘除、乘方
    • 顺序：先乘方再乘除最后算加减，有括号先算括号里面的，同级运算按从左到右进行。
• 相关概念
  • 相关概念1
    • 正数与负数
    • 正整数与负整数
    • 0和负数：非正数
    • 0和正数：非负数
    • 正数和负数：非0数
    • 0和负整数：非正整数
    • 0和正整数：非负整数
  • 相关概念2
    • 数轴
      • 规定了原点、正方向和单位长度的直线：定义
      • 性质
        • 数轴上有无数个点，但没有端点，能往两方无限延伸
        • 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点并不都表示有理数
        • 数轴上的点表示的数，越往左边的点表示的数越小，反之越大
      • 用途
        • 表示数
        • 比较数的大小
    • 相反数
      • 定义
        • 只有符号不相同的两个数互为相反数：文字语言
        • 符号语言
          • a的相反数是-a
          • ∵a+b=0∴a与b互为相反数
      • 性质
        • 对象是指两个数
        • ∵a与b互为相反数∴a+b=0或a=-b
    • 绝对值
      • 定义
        • 一个数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离，用∣a∣表示：（几何）定义
        • ：代数意义
      • 性质
        • 任意一个数的绝对值具有非负性
          • 任何一个数的绝对值都是非负数：文字语言
          • ：几何语言
            • 考点1
            • ：考点2
            • ：考点3
        • 即互为相反数的两个数的绝对值相等
    • 倒数
      • 定义
        • 乘积为1的两个数互为倒数：文字
      • 性质
        • 互为倒数的两个数符号相同
        • 0没有倒数
• 本章易错点
  • 对概念不清造成错误
  • 运算类的错误
    • 运算顺序不对造成错误
    • 运算律运用不对造成的错误
    • 拆项不对造成的错误
    • 乘方运算中底数理解不对造成错误
  • 漏解错误
    • 正负性不确定造成的错误
    • 数轴上点的位置不确定造成的错误
  • 实际问题中建立有理数运算模型列式错误
• 实际运用
  • 用正负数表示一对具有相反意义的量
  • 用计正负数的方法求超过或不足
  • 用绝对值表示行程问题中实际行驶的路程
• 分类
  • 按大小分
    • 正有理数
      • 正整数
      • 正分数
    • 0
    • 负有理数
      • 负整数
      • 负分数
  • 按性质分
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
• 定义
  • 整数和分数统称为有理数
  • 性质