向量空间的基、维数与坐标

向量空间的基、维数变换相关知识整理

向量空间的基、维数与坐标

• 定义
  • 设V是非空n维向量的集合，若V对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称V为一个向量空间。
    • 集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指 若α∈V，β∈V，则α＋β∈V； 若α∈V，λ∈R，则λα∈V.
    • 例题
  • 设V是向量空间，如果r个向量埃尔α1...αr∈V，且满足 （1）α1....αr线性无关； （2）V中任一向量都可由α1...αr线性表示. 那么，向量组α1...αr就称为向量空间V的一组基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。
    • 只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，没有基
    • 若把V看作向量组，那V组的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩
    • 若向量组α1...αr是向量空间V的一个基，则V 可表示为 V={x=λ1α1+...+λrαr|λ1，...，λr∈R}
  • 若α1，...，αr是V的一组基，则对任意α∈V，存在唯一一组有序数x1，...，xr使得 α=x1α1+...+xrαr， x1，...，xr称为α在基α1，...，αr下的坐标 记为α=（x1，...，xr）
  • 若α1，...，αr是向量空间V的一组基，且α1，...，αr两两正交，则称α1，...，αr为V的一组正交基；若α1，...，αr两两正交且为单位向量，称α1，...，αr为V的一组规范基。
  • 设有n维向量a1,...,am,则它们的一切线性组合所成的集合 V={x=λ1a1+...+λmam|λ1...λm∈R} 称为由向量a1，...，am所生成的向量空间，记为L（a1,...,am），即 L（a1，...，am）＝{x|x=λ1a1+...+λmam|λ1，...，λm∈R} 向量组a1，...，am的极大无关组即为L的基；a1,...,am的秩即为L的维数.
• 基变换与坐标变换
  • 例题