初中数学：第一章 勾股定理

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦..

勾股定理

• 勾股定理
  • 描述
    • 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
    • a²+b²=c²（a,b为两直角边，c为斜边）
      • 把“图形”转为“数据”
  • 应用条件
    • 勾股定理只适用于直角三角形，所以常做辅助线——高，构造直角三角形
  • 应用
    • ①已知直角三角形的两边，求第三边
    • ②表示长度为无理数的线段
    • ③在数轴上做出表示无理数的点
  • • 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解
    • 勾股定理的一些变式
      • a²=c²-b²
      • b²=c²-a²
      • c²=（a+b）²-2ab
• 勾股定理的逆定理
  • 逆定理
    • 如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形
      • 把“数据”转为“图形”
    • • 勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形
  • 勾股数
    • 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
      • 勾股数组
        • 常见勾股数组
          • ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
        • 若a,b,c是一组勾股数，则ax,bx,cx（x是正整数）也是一组勾股数
  • 应用
    • 判定一个三角形是否是直角三角形
    • 判定步骤
      • 1.确定最长边（如c）
      • 2.验证c²与a²+b²的关系
        • 若c²=a²+b²，则△ABC是∠C=90°的直角三角形
        • 若c²≠a²+b²，则△ABC不是直角三角形
          • 当c²＞a²+b²
            • 三角形为钝角三角形
          • 当c²＜a²+b²
            • 三角形为锐角三角形
• 赵爽弦图
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• 立体图形转平面图形
  • 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法
    • 将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离
  • 2.求几何体表面上最短路线问题
    • 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线
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