复数与复变函数

复数与复变函数：几何意义：非零复数z的n次方根共有n个，它们沿中心在原点，半径为 r （取算术根）的圆周均匀地分布着，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。

• 复数与复变函数

• 复数
  •  复数域
    •  定义：形如z=x+iy的数，称为复数。z=x+iy(实部x=Rez,虚部y=Imz)
    •  分类：
      •  y=0,称为实数
      •  y≠0,称为虚数
      •  y≠0,x=0,称为纯虚数
    •  代数运算
      •  和、差：z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2)
      •  乘：z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2) (按多项式乘法展开)
      •  商：(分子、分母同乘分母的共轭复数)
      •  复数的加法遵守交换律与结合律，复数的乘法遵守交换律与结合律,且遵守乘法对于加法的分配律。
      •  两个复数，若不全为实数，则不能比较大小
        •  若z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,
        •  要使z1=z2,只须x1=x2,y1=y2
  • 模和辐角
    • 模：设z=x+iy,则r=çÖ(x^2+y^2)ç³0 (称r或çzç为z的模）
    •  复平面:复平面上的点与二维平面上的点相对应，也与实数域上的向量相对应
    • z`z=çzç^2=çz^2ç (也可用z`z求z的模)
    • 三角不等式
      • çz1+z2ç£çz1ç+çz2ç
      • ç|z1|-|z2ç|£çz1ç+çz2ç
      • |z1-z2|表示z1与z2之间的距离
  • 辐角
    • 定义：z=x+iy(z≠0)所对应的向量oz与实轴正向间的夹角q满足：tana=y/x
    • q=Argz=argz+2kπ(k=0,±1,±2,…… )
    • (Argz为辐角，辐角为多值函数;argz为Argz的主值或z的主辐角,-π<argz£π) (z=0时辐角无意义)
    • 辐角的求法 argz（z≠0）=
      • arctany/x; z在第一，四象限
      • arctany/x+π; z在第二象限
      • arctany/x-π; z在第三象限
      • 0; x=0,y=0
      • ±π/2; x=0(y>0或y<0)
      • π; x<0,y=0
  • 表示形式
    • 代数形式：z=x+iy
    • 指数形式：z=re^iθ (当r=1时，z=e^iθ)
    • 三角形式：z=r(cosθ+isinθ） (当r=1时,z=cosθ+isinθ）
    • z=x+iy=r(cosθ+isinθ=re^iθ 欧拉公式：e^iθ=cosθ+isinθ)）
  • 指数形式的乘除：
    • 乘：两个复数乘积的模等于模的乘积；两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和
    • 几何意义：z1z2所对应的向量是把z1所对应向量的长度伸缩r2倍，然后再旋转一个角度θ2=argz2 (我们规定逆时针方向旋转的角度为正，顺时针方向旋转的为负）
    • 除：两个复数商的模等于模的商；两个复数商的辐角等于它们辐角的差
  • 乘幂与方根：
    • 乘幂：乘幂的模等于模的n次方，乘幂的辐角为辐角的n倍 设z=re^iθ z^n=r^n e^inθ=r^n (cosn⁡θ+isin⁡nθ ) 当r=1时，cos⁡θ+i sin⁡θ^n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(棣莫弗公式)
    • 方根：求非零复数z的n次方根，相当于解二项方程
    • 几何意义：非零复数z的n次方根共有n个，它们沿中心在原点，半径为 r （取算术根）的圆周均匀地分布着，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。
    • 共轭复数：
  • 在几何上的应用
    • 连接z1及z2两点的线段的参数方程（过两点的参数方程）：z=z1+t(z2-z1) (0<=t<=1)
• 复平面上的点集
  • 基本概念
    • 邻域:以z1为圆心，以 p为半径的圆的内部，称为点z1的邻域
    • 去心领域：以z1为圆心，以 p为半径的圆的内部，称为点z1的邻域(p≠0)
    • 五点
      • 聚集程度： 聚点 孤立点
      • 位置关系： 内点 边界点 外点
    • 集合
      • 开集：所有点都是内点
      • 闭集：所有聚点都是E中的点
      • 有界集：点集E内的所有点z满足其绝对值<=M,(即E全含义以原点为圆心的一个圆内)
      • 无界集
      • 导集：E得所有聚点构成的集合
      • 区域：连通的开集，（有洞有缝为多连通，无洞无缝为单连通）
      • （区域都是开的，不包含它的边界）
      • 闭域：区域加边界
  • 曲线
    • 连续曲线
      • 复数的参数方程 令z=x+iy,则x=x(t),y=y(t)
      • z(t)=x(t)+iy(t)
      • 没有重点的连续曲线称为简单曲线（方向：起点指向终点）
      • 有重点的连续曲线为简单闭曲线（方向：逆时针为“+”，顺时针为“-”）
    • 光滑曲线
      • 光滑曲线：光滑曲线上的各点都有切线光滑曲线可求长
      • 逐段光滑曲线：由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线
      • 逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线（闭曲线）却不一定可求长
• 复变函数
  • 基本概念
    • 设E为一复数集，若对E内每一个复数z，有唯一确定的复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数；若有多个w与之对应，则称在E上确定了一个多值函数。
  • 连续
    • 设函数f(z)=u(x,y)+iy(x,y) 于点集E上有定义，对E中的任意一点z1,则 f(z) 沿E在点 z1=x1+iy1 连续充要条件 二元实函数 u(x,y),y(x,y) 沿E于（x1,y1）连续
    • 若f(z),g(z)沿点集E于点z0连续，则其和、差、积、商沿点集E于点z0连续
  • 极限
    • 存在一复数w1，对任意给定的e>0，有d>0，只要0<|z-z1|<d，就有 |f(z)-w|<e ,则称 f(z)沿E趋于z0的极限为w limz→z1 f(z)⁡=w
    • 极限存在，必唯一；极限与z趋于z0的方式无关）
    • 必要条件：设函数z=u(x,y)+iy(x,y)点集E上有定义，z1=x1+iy1 为E的聚点 limz→z1 f(z)=a+ib ,lim(x,y)→(x1,y1) u(x,y)=a lim(x,y)→(x1,y1) v(x,y)=b u(x,y),y(x,y)至少有一个极限不存在，则 f(z)的极限不存在
  • 复函数的表示形式
    • 代数表示：z=u(x,y)+iy(x,y)
    • 三角表示: w=f(r,θ)+iy(r,θ)
    • 复变函数可以看成是两个复平面点集间的对应（映射）
• 复球面与无穷远点
  • 复球面
    • 复平面加上∞点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面
    • 关于" ∞"的规定 (∞± ∞ ），0* ∞ ，∞ /∞ 0/0无意义, a≠0时，∞ *b=b* ∞= ∞ ,b/0=∞ b≠0时,∞ /b=∞,b/ ∞ =o,∞±b=b±∞ =∞ ∞的模为 +∞；∞ 的实部，虚部，辐角无意义
  • 扩充复平面
    • 无穷远点的领域：应理解为以原点为圆心的某个圆周的外部（ 指点集z的模>1/e)
    • 无穷远点的去心领域：指点集z的模>1/e，<+∞
    • 广义连续,广义极限
• 浮动主题