L16

本思维导图主要内容有：6.5用波像差评价光学系统的成像质量；6.6理想光学系统的分辨率；6.7典型光学系统分辨率的表示方法；6.8光学传递函数。

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• 6.5用波像差评价光学系统的成像质量
  • 6.5.1波像差的定义波像差是实际波面和理想波面之间的光程差，用字母W表示。
    • 理想成像时，对应的波面为一个以理想像点为中心的球面。而在实际光学系统中，由于存在几何像差，对应的波面不再是一个以理想像点为中心的球面。
  • 6.5.2几种典型几何像差对应的波像差
    • 1球差
      • 下图为球差的波像差。图（a）为球面透镜的仿真光路图，其中最右方的红色平面表示成像面。图（b）和（c）分别为像面上的波前分布二维投影和三维视图。如图（c）所示，球差所对应的波像差整体呈“碗状”。
    • 2慧差
      • 下图为彗差的波像差。图（a）为存在彗差的光学系统的仿真光路图，其中蓝、绿、红三种颜色的入射光线分别表示三个不同视场，同轴光线（红色）在像面上交于一点，而蓝色的离轴光线在像面上形成一个类似于“彗星”的图像。图（b）和（c）分别为像面上的波前分布二维投影和三维视图。如图（c）所示，彗差所对应的波像差整体呈“波浪状”。
    • 3像散
      • 下图为像散的波像差。图（a）为存在像散的光学系统的仿真光路图，对焦点附近光线放大后可看出，子午面和弧矢面的光线并不交于一点。图（b）和（c）分别为像面上的波前分布二维投影和三维视图。如图（c）所示，像散所对应的波像差呈“马鞍状”。
    • 由上述几种像差的数值仿真结果可以看出，每一种几何像差都有对应的波像差的分布，因此，波像差也可以被用来评价成像质量。
  • 6.5.3用波像差评价像质的标准
    • 1．经验标准
      • 在用波像差评价光学系统的成像质量的时候，经常会用到一个经验标准，即瑞利（Rayleigh）判据。
        • 瑞利判据将整个光瞳面内的最大波像差作为评价系统像质的指标，这种方法简单实用，但是它也有局限性。
    • 2．光瞳面波像差分布
      • 光瞳面内的波像差分布可以用一系列正交多项式的线性组合表示。泽尼克多项式（Zernike polynomials）是一组在单位圆内连续区域正交的完备基，并且其低阶模式与我们常见的几种低阶像差（球差、像散、彗差等）相对应，因而常用于描述波前像差特性。
        • 在圆内的泽尼克多项式表示如下：
          • 下图给出了前 35 项泽尼克多项式的等高投影图，并指出了其低阶模式对应的低阶几何像差。 随着阶数的增高，泽尼克波像差在角向和径向的分辨率增高。借助这组函数基，可以把圆形光瞳上的任意一个像差分布，在泽尼克多项式的基础上进行分解，然后通过分析每一个具体项所对应的系数大小（即Cnm),分解波前像差的具体成分。泽尼克像差在光学系统波像差的分析中应用非常广泛。
• 6.6理想光学系统的分辨率
  • 6.6.1光学系统的分辨率
    • 1定义
      • 光学系统能分辨的两点之间的最小间隔（距离@显微系统或角度@望远系统），叫作光学系统的分辨率。
        • 分辨率反映了光学系统分辨物体细微结构的能力。
    • 2作用
      • 实际光学系统由于存在像差以及加工、装配等制造误差，成像不可能完全理想，分辨率必然下降。因此，实际分辨率和理想分辨率之差，可以作为衡量光学系统的像差设计、加工制造、装配校正质量的综合指标。
  • 6.6.2理想光学系统的衍射分辨率
    • 1光的衍射现象
      • 先来看一下光的衍射现象。由于光的波动性，即使是理想光学系统，一个物点对应的像点也不再是一个几何点，而是一个光斑。这个光斑是由于光波通过孔径光阑发生衍射所致。其中，中心亮斑称为艾里斑。
    • 2衍射像
      • 通常把衍射光斑的中央亮斑作为物点通过理想光学系统的衍射像。
    • 3衍射分辨率
      • 定义：能够分辨两个衍射像的最小间隔称为理想光学系统的衍射分辨率。
        • 我们以两个光强相等、中央亮斑半径相等的衍射光斑为例（如上图）。当两个衍射光斑中心间距大于 2R时，显然两个光斑是可分辨的；当中心间距逐渐减小，也是一定程度上可分辨的；但是当间距减小到一定程度时，两个光斑合成“一个”光斑，不再可分辨。理想光学系统的衍射分辨率
    • 4对比度
      • 定义：光强度分布曲线上极大值和极小值之差与极大值和极小值之和的比，称为对比度，用字母K表示。
        • 实际上，对于人眼来说，当K=0.02时，仍能够分辨，此时对应的两个像点的距离约为0.85R。
  • 6.6.3分辨率检验
    • 1分辨率板
      • 分辨率板通过光学系统成像，在像平面上检测所能分辨的最小间隔と（mm），作为该系统的分辨率指标。分辨率板的种类有很多，下图给出了两种典型的分辨率板图形。每个分辨率板都由多组形状相似、大小或者间隔不等的图案组成，每组标准图案对应了相应的编号，因此在进行分辨率检测的时候，只需要在像平面上找到能够分辨的间隔最小的图案组，然后根据其对应的编号，即可在相应的分辨率表上查到可分辨的最小间隔值と（mm）。
        • 由于分辨率的测量方法简单，因而广泛用于光学仪器的质量检验中。
    • 2分辨率检验
      • 下面，我们来看一下分辨率检验在实验中的具体操作流程。下图为分辨率板的实验光路图，用于检测的光学仪器为待测镜头，其中白光背光源用于提供照明，在待测镜头前放置合适的标准分辨率板，待测镜头后方用 CCTV 镜头和 CMOS 相机接收所观察的像。
        • 上图中，通过观察各组栅格，找到一组在四个方向上均能分辨清楚的线条最密的栅格，确定能分辨的最小间隔と，然后用と的倒数u作为系统分辨率的指标。u又称为空间频率，且满足 分辨率的最小间隔と越小，空间频率u越大，分辨率越高，分辨物体细微结构的能力越强。
  • 6.6.4星点检验
    • 1星点检验
      • 星点检验也是检验光学系统成像质量的一种方式，其原理是构建一个无限远的点光源，然后通过待测光学系统对无限远的轴上点光源成像。 例如下图所示的星点检验光路系统，首先将星孔板放在平行光管透镜前焦面处，光源将星孔板照亮后，星孔板成一个点光源。随后，该点光源经平行光管物镜成平行光出射。平行光经过待测成像系统，在其像方焦面上形成星点像，通过读数显微镜可对该星点像进行放大观察。最后，根据星点像的弥散斑大小和能量分布情况，评定系统的成像质量。
        • 弥散斑越小，能量分布越集中，像质越好。
    • 2典型几何像差的星点像
      • 第一行是最靠近理想像面位置随着球差增大对应的星点像；第二行是稍离理想像面位置的球差星点像；第三行是远离理想像面即最外围光线的位置对应的球差星点像。
        • 从上图的彗差星点像可以看出，从 1 个波长的彗差到 2.5 个波长的彗差再到 6 个波长的彗差其光斑是逐渐弥散的，彗差越大，弥散越严重。其中，彗差中条纹由干涉或衍射引起。
          • 上图给出了像散星点像，其中第一行是弧矢光线的聚焦面，第二行是中间光线的聚焦面，第三行是子午光线的聚焦面。
      • 根据星点像的形貌可以快速判断出光学系统含有哪些像差，从而反推出光学系统的像差源，进而找到合理减小或消除相应像差的方法。
• 6.7典型光学系统分辨率的表示方法
  • 6.7.1望远镜分辨率
    • 1．望远镜分辨率的表示方法
      • 望远镜的工作特点是，其观察物体（即被分辨的物体）位于无限远，因此望远镜的分辨率以能分辨开的两物点对望远镜的张角α表示。那么这个最小张角是多少呢？这就需要利用“无限远物体的像高公式”，将像空间的距离量 y'，转换为物空间的角度量α。
    • 2．望远镜的衍射分辨率公式
      • 由于像平面上刚好能分辨的两衍射光斑间的距离R，因此推导易得，望远镜的衍射分辨率公式为：（其中，α为刚好分辨的两物点对物镜的张角，D为望远镜物镜的通光口径，λ为入射波长。）
      • 因此，要提高望远镜的分辨率α，应增大其物镜的口径D。
  • 6.7.2照相系统分辨率
    • 1．照相系统分辨率的表示方法
      • 照相系统的工作特点是将有限远的物体成像在感光胶片上（ -l>>f')，因此照相系统的分辨率以像平面上每毫米能分辨开的线对数N表示，单位为lp/mm(线对/毫米)。
    • 2照相系统的目视分辨率公式
      • 根据衍射分辨率公式和几何关系，推导易得，照相系统的目视分辨率公式为：
        • 其中，N为照相系统的目视分辨率，R为衍射光斑半径，F为照相系统的F数，λ为入射波长。
        • 对于照相系统而言，其F数与相对孔径互为倒数，即满足关系式： 其中，D为照相物镜的入瞳直径，f'为像方焦距。
    • 综上可知，要提高照相系统的分辨率，应该增大其物镜的相对孔径。
  • 6.7.3显微镜分辨率
    • 显微镜的工作特点是，待观察物体在近距离处（物体位于物镜的一倍焦距以内），其分辨率一般以物平面上刚能分开的两物体间的最短距离厶表示。
      • 两物点经显微物镜后成像在分划板上，而分划板上的两像点可分辨的最小间隔为衍射分辨率R，因此代入衍射分辨率公式和物像空间不变式，并结合几何关系，可以得到显微镜物镜的分辨率的公式表示如下：
        • 阿贝极限使我们无法更加深入地了解微观世界，对于小于 0.2 μm 的病毒，无法用已有的光学显微镜观察清楚。这一预言导致在 20 世纪的绝大多数时间里，科学家们都相信光学显微成像技术将永远无法让他们突破到更细微的尺度上。
        • 其中，NA为显微物镜的数值孔径，λ为入射波长。 由此可知，要提高显微镜的分辨率，需要增大其物镜的数值孔径NA。
• 6.8光学传递函数
  • 在空间域中，我们将成像物体分解成一个个物点的集合，然后分别考察各个物点所发出的光能在像空间的分布状况（瑞利判据、分辨率检验等）；而在频谱域中，我们将成像物体的光强分解为各种空间频率的谱，通过考察“谱函数”的对比度下降（振幅变化）和相移（位相变化）与空间频率之间的关系（光学传递函数），对光学系统的成像质量进行评价。（引用傅里叶变换）
    • 6.8.1图像的合成与分解
      • 首先，我们需要对物图像的光强进行分解，即将物平面的光强分布函数展开为傅里叶级数（对周期性物函数）或傅里叶积分（对非周期性物函数），然后从频谱域研究光学系统的传递能力。
    • 6.8.2光学传递函数
      • 利用光学传递函数来评价光学系统的成像质量，光学系统应为空间不变的线性系统，如下图所示。
        • 在傅里叶分析光学中，把任意强度分布函数，分解为无数个不同频率、不同振幅、不同初位相的余弦函数，称为余弦基元。
          • 物平面上的余弦基元，通过光学系统后，在像面上也是一个余弦分布，但两者的初位相和对比度都将发生变化。(光学系统的特性就表现为对各种余弦基元的传递能力。)
      • 总结一下，像平面和物平面对比度之比即为振幅传递函数（Modulation Transfer Function，MTF），它表征像的对比度相对于物的对比度的下降程度；像平面和物平面的初位相之差为位相传递函数(Phase Transfer Modulation，PTF)，它表征像相对于理想位置偏移的大小。二者统称为光学传递函数（OTF）。
      • PTF并不影响成像清晰度，决定像的成像质量的主要是MTF，因此通常用MTF来评价系统的像质。下面，我们讨论光学传递函数时，特指调制传递函数。
    • 6.8.3光学系统的调制传递函数（MTF）
      • 1．理想光学系统的调制传递函数
        • 下图为理想光学系统的调制传递函数曲线（归一化后）。从该曲线可以看出，理想光学系统的MTF随着空间频率u的增大而降低，当u增大到某一频率时，MTF降为0，光学系统不能成像。MTF恰好降为0时所对应的频率称为截止频率，理想光学系统的截止频率由其衍射分辨率决定。 （由此可知，一个光学系统就是一个低通滤波器，它会将高频部分（细节）滤除掉。）
      • 2．用光学传递函数评价系统的成像质量
        • 光学传递函数可以用来评价系统的成像质量。如下图所示，对于光学系统 1 和光学系统 2，它们的调制传递函数曲线不同。其中，光学系统 1 在低频部分的响应较好，对于物体轮廓的成像质量较好，成像的对比度更高，但是低频部分响应较低，因此表现为图像的锐度较低；而光学系统 2 正好相反。 另外，探测器 1 和探测器 2 的阈值曲线如下图所示，它代表探测器在不同空间频率的响应程度。探测器阈值曲线与光学系统调制传递函数曲线的交点所对应的空间频率，即为实际光学系统的截止频率。
      • 3．传递函数曲线在光学设计中的用途
        • 在设计阶段，可以计算系统的光学传递函数，并依据光学传递函数优化设计方案。 在产品检测阶段，对制造出来的系统，可以测量其光学传递函数，评价光学系统的性能。 因此，光学传递函数能把光学系统的设计质量和实际使用性能统一起来，使我们在设计阶段就能预知实际使用性能。