人教数学必修一(B版)第一章 集合与常用逻辑术语

人教数学必修一(B版)第一章 集合与常用逻辑用语的思维导图，主要内容有1.1.1集合及其表示方法、1.1.2集合的基本关系、1.1.3集合的基本运算等。

人教数学必修一(B版)

• 第一章 集合与常用逻辑用语
  • 1.1 集合
    • 1.1.1 集合及其表示方法
      • 集合与元素的概念、表示及其关系
        • 集合、元素的含义
          • 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。
        • 集合与元素的表示及其关系
          • 集合与元素的表示
            • 集合通常用英文大写字母：A，B，C等表示
            • 元素通常用英文小写字母：a，b，c等表示
      • 集合元素的特性
        • 根据集合的概念中的“确定的”“不同的”“汇集在一起可知”，集合的元素具有以下特点
          • 确定性
            • 给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
          • 互异性
            • 一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
          • 无序性
            • 一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合中的元素可以任意排列
      • 集合相等
        • 给定两个集合A和B,如果组成他们的元素完全相等,就称这两个集合相等,记作A=B.
      • 集合的分类
        • 集合可以根据他含有的元素个数分为两类
          • 有限集
            • 含有有限个元素的集合
          • 无限集
            • 含有无限个元素的集合
        • 特殊集合:空集
          • 一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作∅
      • 常见数集及其记法
        • 自然数集
          • 所有非负整数组成的集合
            • N
        • 正整数集
          • 所有正整数组成的集合
            • N*或
        • 整数集
          • 所有整数组成的集合
            • Z
        • 有理数集
          • 所有有理数组成的集合
            • Q
        • 实数集
          • 所有实数组成的集合
            • R
        • 韦恩图关系
      • 集合的表示方法
        • 列举法
          • 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法
        • 描述法
          • 集合的特征性质
            • 一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.
          • 特征性质描述法(描述法)
            • 集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)},这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称为描述法.
      • 区间
        • 区间的概念
          • 这里的实数a,b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度
            • 注意：
              • 区间左端点值一定要小于右端点值
              • 区间表示中，两个端点之间用“，”隔开
              • “闭”与“开”的区别在于：前者取得到，后者取不到但可以无限接近
              • 用数轴直观表示区间时，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点
        • 无穷大的概念
    • 1.1.2 集合的基本关系
      • 维恩图
        • 如果用平面上一条封闭的曲线的内部来表示集合,那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图
        • 优点:可以形象直观地理解抽象的集合概念及其关系
        • 缺点:集合的元素或特征性质显现不出来
      • 子集
        • 子集的概念
        • 子集的性质
          • 任意集合A都是他自身的子集,即
          • 规定:空集是任意一个集合A的子集,即
          • 对于任何集合A,B,C,若
        • 不包含关系
          • 对应地,如果A不是B的子集,则记作
            • 读作"A不包含于B"(或"B不包含A")
      • 真子集
        • 真子集的概念
        • 真子集的性质
          • 空集是任何非空集合的真子集,即
          • 对于集合A,B,C,如果
      • 集合的相等与子集的关系
        • 由此我们可以得到:
      • 有限集的子集、真子集的个数
    • 1.1.3 集合的基本运算
      • 交集
        • 概念
          • 一般地,给定两个集合A,B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合,称为A与B的交集.读作"A交B",记作
        • 交集的运算性质
      • 并集
        • 概念
          • 一般地,给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为A与B的并集,读作"A并B",记作
        • 并集的运算性质
      • 补集
        • 全集的概念
          • 在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定的集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常记作U
        • 补集的概念
          • 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,读作"A在U中的补集",记作
        • 补集的运算性质
      • *拓展:集合交、并、补综合运算性质
        • 德摩根恒等式（P19例4）
          • 设集合U为全集，A，B为U的子集，则有
            • • 交之补等于补之并
            • • 并之补等于补之交
        • 分配率（P19探索与研究）
          • 给定三个集合A,B,C，则有
            • • 并交等于交的并
            • • 交并等于并的交
  • 1.2 常用逻辑用语
    • 1.2.1 命题与量词
      • 命题
        • 概念
          • 可供真假判断的陈述语句称为命题
        • 分类
          • 判断为真的语句称为真命题
          • 判断为假的语句称为假命题
          • 一个命题,要么是真命题,要么是假命题,不能同时既是真命题又是假命题,也不能主观判断、无法判断是真命题还是假命题
        • 表示
          • 为了方便叙述,命题可以用小写英文字母表示,常用的是p,q,r,s等
          • 数学中的命题,可以应用语句表达,也经常应用符号或式子表达.
      • 量词
        • 全称量词与全称量词命题的概念
          • 全称量词定义:一般地,"任意","所有","每一个"在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词 符号表示为
          • 全称量词命题定义: 含有全称量词的命题,称为全称量词命题 符号表示为:
        • 全称量词命题及其真假判断
          • 判断全称量词命题的方法
            • 含有全称量词"所有的""任意一个"等的命题是全称量词命题
            • 虽然命题省去了全称量词,但含有"所有的""任意一个"等的含义的命题是全称量词命题.
          • 判断全称量词命题的真假的方法
            • 要判定全称量词命题"任意x属于M,r(x)"是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立
            • 如果在集合M中找到一个元素x1,使r(x1)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题
        • 存在量词与存在量词命题的概念
          • 存在量词定义:"存在","有","至少有一个"在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词 符号表示为:
          • 存在量词命题定义:含有存在量词的命题,称为存在量词命题 符号表示为:
        • 存在量词命题及其真假的判断
          • 判断存在量词命题的方法
            • 含有存在量词"存在一个","至少有一个"等的命题是存在量词命题
            • 虽没有写出存在量词,但其意义具备"存在一个","至少有一个"等特征的命题是存在量词命题
          • 判断存在量词命题的真假的方法
            • 要判断存在量词"存在x属于M,s(x)"是真命题,只需要在M中找到一个x1,使s(x1)成立,即"找特例"
            • 要判断存在量词命题"存在x属于M,s(x)为假,需要对集合M中每个元素x,证明s(x)都不成立
    • 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
      • 命题的否定
        • 定义: 一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,读作"非p"或"p的否定",记作
        • 命题否定与原命题的真假性关系
      • 全称量词命题和存在量词命题的否定
        • • 说明:全称量词命题和存在量词命题否定后的真假性与原命题相反
    • 1.2.3 充分条件、必要条件
      • 充分条件、必要条件
        • 推出
        • 充分条件与必要条件的定义
          • • p是q的充分条件,q是p的必要条件
          • • p不是q的充分条件,q不是p的必要条件
        • 定理与充分条件、必要条件的关系
          • 判定定理与充分条件
            • 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了使相应数学结论成立的一个充分条件
          • 性质定理与必要条件
            • 一般地,数学中的每一个性质定理都给出了使相应数学结论成立的一个必要条件
      • 充要条件
        • 充分不必要条件
          • 一般地,如果p可以推出q,且q推不出p,则称p是q的充分不必要条件
        • 必要不充分条件
          • 一般地,如果p推不出q,且q可以推出p,则称p是q的必要不充分条件
        • 充要条件
          • 一般地,如果p可以推出q,且q可以推出p,则称p是q的充分必要条件,简称"充要条件",读作"p与q等价""p当且仅当q"
        • 既不充分也不必要条件
          • 一般地,如果p推不出q,且q推不出p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
        • 数学中的定义与充要条件的关系
          • 在数学上,找到一个"事物"的充分必要条件是特别重要的一件事情,它可以帮助我们从不同的角度,全面地反映同一个"事物"的面貌,从而为定义一个数学概念打下基础
          • 一般地,一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件;反之,数学对象的任意一个充要条件都可以作为这个对象的定义.
      • 从集合角度理解充分条件、必要条件、充要条件
        • 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则
      • 充分条件与必要条件的传递性
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• 关于本思维导图用到的LaTeX格式公式
  • \complement
    • 补集符号
  • \varnothing
    • 空集
  • \cap
    • 交集
  • \cup
    • 补集
  • \subseteq
    • 子集
  • \subsetneqq
    • 真子集
  • \in
    • 属于
  • \notin
    • 不属于
  • \complement _{U}A
    • 补集CuA
  • \forall
    • 任意
  • \exists
    • 存在
  • \neg
    • 否定
  • \Rightarrow
    • 推出
  • \nRightarrow
    • 推不出
  • \Leftrightarrow
    • 充要(相互推出)