复数与复变函数

这是一篇关于复数与复变函数的思维导图，主要包括复数的基本概念、复数的四则运算、复数的几何表示法、平面点集、复平面上的曲线等。

复数与复变函数

• 复数
  • 复数的基本概念
    • z=a+bi,其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。
      • Re z=x
      • lm z=y
      • 实数有序，复数无序；即实数能进行大小比较，但是复数是不行的
  • 复数的四则运算
    • 加
    • 减
    • 乘
    • 除
      • 除法的关键：使分母的复数实数化
  • 复数的几何表示法
    • 复平面
      • ”复数“与”点“可视为同义词
    • 复数的矢量表示
      • 复数的形式是a+bi,也就是说一对确定的a和b能唯一确定一个复数,可以用(a,b)来表示；矢量在直角坐标系上可以表示为从原点指向点(a,b)的一条有向线段；
        • 矢量的长度称为复数的模或绝对值
        • 了解了几何意义之后，我们就可以理解了为什么之前前面我们说复数之间不可以比大小了。 因为之前没有听说过那个点比那个点大，也没有听说矢量之间可以比大小。
      • 共轭函数
        • 实部相同而虚部正负号相反的两个虚数称之为共规复数
          • 对称于实轴
          • 复数运算的共轭=复数共轭的运算
          • 复数*复数的共辊=实部^2+虚部^2
    • 复数的三角/极坐标表示
      • 欧拉公式：e^ix=cosx+isinx
      • z=r(cosθ＋isinθ）
        • θ是矢量oz与极轴的夹角
        • 如果z≠0+i0, 那么的值就有无穷多个，它们之间相差2的整数信，则称的值为2的幅角，记为——Agz=θ +2nπ (其中n为整数)
        • 幅角的主值记为 arg z
        • 如果复数落在正实轴上， 那么这个复数的幅角的主值为0
        • 如果复数落在负实轴上， 那么这个复数的幅角的主值为-π
        • 每一个复数我们都可以定义它的模长，但并不是每一个复数我们都可以定义它的幅角：0是唯一以零为模，幅角没有定义的复数
      • 复数四则运算的几何表示
        • 加减：两矢量的和差
        • 乘：逆时针旋转，模放大或者缩小
        • 除：顺时针旋转，模缩小或者放大
        • 乘幕： 棣美弗公式
        • 方根
          • 就几何意义来说，这几个根是以原点为心，以1/n为半径的内接正n边形的顶点
      • 无穷远点
        • 这是一个复数，一个量，一个无穷大量
        • 扩充了复数域
          • 因为没有一个复数是一个数除以0得来的，所以为了使除法完备，引入了无穷远点
            • 定义：∞=1/0
      • 复球面/Riemann球面
        • 全体复数可以用这个球面上的点来表示，同时也消除了在复平面上无穷远点的特殊性
  • 平面点集
    • 邻域
    • 聚点
      • 包括了集G的边界
    • 内点
      • 内点不可以在边界上
    • 开集
      • 如果集G中的每个点都是它的内点，那么称集G为开集
    • 闭集
      • 开集的余集称为闭集
    • 边界点及边界
      • G的边界点全体称为G的边界点
    • 孤立点
      • G的孤立点一定是G的边界点
    • 有界集与无界集
      • 如果存在一个一点z=0为中心的圆盘包含G，称G为有界集，否则称G为无界集
    • 连通集
      • G中任意两点可用一条全部属于D的折线连接起来，则称D为连通集
    • 区域
      • 开集
      • 连通
      • 区域是开集，闭区域是闭集。除了全平面既是区域又是闭区域外，区域和闭区域是两种不同的点集。
  • 复平面上的曲线
    • 参数表示
    • 动点z所满足的关系式表达
    • 光滑
    • 重点
    • 简单曲线/若尔当曲线
      • 连续
      • 没有重点
    • 若尔当曲线定理
• 复变函数
  • 设有一复数z=xtiy的集合G,如果有一个确定的法则存在，对于集合G中的每一个复数z，按照这一法则，复数w=u+iv就随着而定。那么称w是复变数z的函数(简称为复变函数)记为w=f(z)
  • 从几何上对复变函数进行讨论
  • 复变函数的极限
    • 定义
      • z趋于z0的方式应该是任意的，任意方向的极限 都应该是相等的，否则极限就是不存在的
    • 定理1
      • 将求复变函数的极限转化为求两个二元实函数的极限
    • 定理2
      • 复变函数的加减乘除的极限=函数极限的加减乘 除
    • 定理3
      • 复变函数的连续，极限等于函数值
    • 定理4
      • 函数f(z)=u(x,y)+iv(xy)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x.y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续