实数-思维导图

涵盖初中实数相关知识的思维导图，包括分类、大小比较、方根、正数、负数，帮助学生系统地了解和掌握数的基础知识，为后续的学习打下坚实的基础。

实数

• 分类
  • 有理数
    • 分类
      • 按定义分类
        • 整数
          • 正整数
          • 0
          • 自然数
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
          • 有限小数或无限循环小数
      • 按性质分类
        • 正有理数
          • 正整数
          • 负整数
        • 0（既不是正数，也不是负数）
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
    • 相关概念
      • 数轴
        • 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
        • 实数与数轴上的点是一一对应的
          • 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也可以是无理数。
        • 三要素
          • 原点0
          • 方向
          • 单位长度
      • 相反数/量
        • 相反意义的量
          • 相反意义的量：（1）必须是同类词；（2）表示的意义要完全相反，不仅是不同。
          • 通常我们把一种意义的量规定为正的，那么和它意义相反的量规定为负的。
          • 收入支出 上升下降 零上零下 东西 南北 盈利亏损
        • 相反数
          • 代数定义：只有符号不同（﹢/-）的两个数互为相反数，一般地，a和 -a互为相反数
          • 几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两点所表示的数
          • 任何数有且只有一个相反数.特别地，0的相反数是0
      • 绝对值
        • 定义：一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记|a|.
        • 代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即
        • 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.
        • 性质
          • （1）绝对值具有非负性，即|a|≥0.
          • （2）若几个数的绝对值的和为0，则每个数都为0.
          • (3)互为相反数的两个数的绝对值相等
          • （4）互为相反数的两个数和为0.
      • 倒数
        • 定义：乘积是1的两个数互为倒数，即，若ab=1,则a,b互为倒数
        • 0没有倒数，1和-1的倒数是其本身
        • 若实数a,b互为倒数Ûab=1
    • 运算
      • 运算
        • 混合运算：（1）先乘方，再乘除，后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）有括号先算括号里的（先小后中再大）
        • 加法
          • 同号两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
          • 异号（绝对值不相等）相加，取绝对值较大的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
          • 互为相反数的两个数相加得0，一个数与0相加，仍得这个数
          • 加法交换律：a+b=b+a;加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
        • 减法
          • 减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)
        • 乘法
          • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
          • 任何数与0相乘，都得0
          • 交换律：ab=ba；分配律：a(b+c)=ab+ac；结合律：(ab)c=a(bc)
        • 除法
          • 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数（适用于乘法法则），即a÷b=a·(1/b) (b≠0)
        • 乘方
          • 定义：求n个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂
          • 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0
      • 运算律
        • 交换律
          • a+b=b+a
          • ab=ba
        • 结合律
          • (a+b)+c=a+(b+c)
          • (ab)c=a(bc)
        • 分配律
          • a(b+c)=ab+ac
    • 科学计数法
      • 一个大于10（或小于-10）的数用科学记数法可以表示为a×
        • 其中1≤|a|<10,n 是正数
        • 表示一个绝对值大于10的数时，n 是原数的整数数位减1得到的正整数
        • 表示一个绝对值大于0小于1的数时，n 是负整数，其绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
    • 近似数
      • 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，即说这个数近似（精确）到哪一位
  • 无理数
    • 正无理数
    • 负无理数
    • 无限不循环小数
      • 无理数是无限不循环小数无法写成分数，有理数只包括整数和分数。
      • 开不尽的数的方根，例如
      • 具有特定结构的数，例如0.1010010001......
      • 具有特殊意义的数，例如π及化简后含π的数
      • 部分三角函数值，例sin10°，sin45°，tan30°
      • 无理数的判断，一定要将其化为最简形式后再判断
• 大小比较
  • 绝对值比较法：两个负数比较，绝对值大的反而小
  • 数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
  • 近似值法：先对要比较的数取近似值，通过比较近似值来比较大小
  • 商值比较法：若a,b是两个正数，则
    • >1, 则a＞b
    • =1，则a=b
    • <1,则a＜b
  • 差值法比较法：对于任意实数a、b
    • a-b＞0，a>b
    • a-b=0，a=b
    • a-b<0, a<b
  • 倒数比较法，中间值比较法，分母有理化法，平方比较法，开方比较法，估算法
• 方根
  • 平方根：实数a(a≥0)的平方根为±
  • 算数平方根：实数a(a≥0)的算数平方根为
  • 立方根：实数a的立方根为
  • 总结
    • 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
    • 一个正数的算数平方根只有一个
    • 负数没有平方根，更没有算数平方根
    • 所有的数都有一个立方根，且与原数同号
    • 0的算数平方根、平方根和立方还是0；立方根等于它本身的是0和±1
• 正数、负数
  • 大于0的数叫正数
  • 小于0的数叫负数
  • 带负号的不一定是负数
  • 正号可以省略，负号不可省略
  • 负负得正，正正得正，正负得负
  • 正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小