三角形的初步认识

浙教版八年级上册第一章三角形的初步认识思维导图，包括：认识三角形、定义与命题、证明、全等三角形、尺规作图。

三角形的初步认识

• 认识三角形
  • 定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接组成的封闭图像叫做三角形
  • 表示，由A B C作为顶点的三角形记作△ABC，读作三角形ABC
  • 分类
    • 按照边进行分类
      • 不等边三角形：三条边各不相等
      • 等腰三角形
        • 两条边相等
        • 三条边相等的叫做等边三角形
    • 按照角进行分类
      • 锐角三角形
        • 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形
      • 直角三角形
        • 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
      • 钝角三角形
        • 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形
      • 1、三角形中至少有两个锐角，至多有三个锐角 2、三角形中至多有一个直角，至多有一个钝角 3、只根据锐角数量大多数情况下无法判断三角形形状
    • 进行交叉分类时，需要注意等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，但是等边三角形只能是锐角三角形
  • 三角形中的特殊线段
    • 三角形的三边
      • 命名方式
        • 按照线段的两个端点进行命名
        • 根据对角利用对应的小写字母进行命名
      • 数量关系：
        • 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
    • 三角形的高
      • 定义
        • 由三角形的一个顶点向对边所在的直线做出的垂线段即为三角形的高
          • 三角形的高也可以看做是点到直线的距离
      • 数量与交点
        • 锐角三角形
          • 有三条高，三条高交于一点，这一点位于三角形的内部
        • 直角三角形
          • 有三条高，三条高交于一点，这一点位于直角三角形的直角顶点上
        • 钝角三角形
          • 有三条高，三条高所在的直线交于一点，这一点位于钝角三角形的外部
    • 三角形的中线
      • 定义
        • 连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做中线
      • 数量与交点
        • 三角形具有三条中线，三条中线交于一点，这一点一定位于三角形的内部，叫做三角形的重心
      • 相关性质
        • 三角形的中线会将三角形分为面积相等的两个部分
    • 三角形的角平分线
      • 定义
        • 平分三角形的角与对边形成的 线段叫做三角形的角平分线
          • 三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线
      • 数量与交点
        • 三角形具有三条角平分线，三条角平分线交于一点，这一点在三角形的内部，叫做三角形的内心
• 定义与命题
  • 定义：一般的，能清楚的规定某一名称或术语的意义的橘子叫做该名称或术语的定义
  • 命题
    • 定义：一般的，判断某一件事情正确或不正确的句子叫做命题
    • 组成：以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论
    • 分类
      • 真命题：正确的命题叫做真命题
      • 假命题：错误的命题叫做假命题
      • 逆命题：条件与结论相反的两个命题叫做互为逆命题
• 证明
  • 证明的定义
    • 由条件出发，根据已知的定义，基本事实等推得结论成立，这样的推理过程叫做证明
  • 三角形的内角和为180°（熟练掌握内角和的证明过程）
  • 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和（熟练掌握证明过程级应用）
• 全等三角形
  • 全等三角形
    • 全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形
    • 全等三角形
      • 定义
        • 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
      • 得到全等三角形的方式
        • 平移
        • 翻折
          • 本质为轴对称
        • 旋转
      • 相关定义
        • 对应顶点：重合的顶点叫做对应顶点
        • 对应边：重合的边叫做对应边
        • 对应角：重合的角叫做对应角
        • 全等三角形应用的依据
      • 相关性质
        • 全等三角形对应边相等，对应角相等
        • 全等三角形的对应数量关系均相等
          • 注意利用面积相等进行等量代换
  • 三角形全等判定
    • 全等判定定理
      • 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
      • 两边和它们的家教对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”
      • 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA"
      • 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”
      • 1、适用于所有三角形全等证明 2、定理的边或角一定是三角形中完整的边或角
      • 斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”
        • 1、只适用于直角三角形
    • 全等常用的判定思路
      • 已知两边对应相等
        • 找夹角，利用SAS判定全等
        • 找第三边，利用SSS判定全等
        • 找直角，利用直角三角形的HL判定全等
      • 已知一边和一角对应相等
        • 找另一角对应相等
        • 或找夹出等角的另一边相等
        • 利用AAS或SAS判定全等
      • 已知两角对应相等
        • 找夹边对应相等，利用ASA判定全等
        • 找其中一个角的对边，利用AAS判定全等
      • 1、判定全等的时候需要将文字部分条件上图，方便观察 2、文字中的平行条件通常用来证明角相等 3、文字中的垂直条件通常用来进行角相等或进行等量代换，尤其是条件中多次出现垂直条件时，注意灵活进行等量代换 4、图形中的隐含等量关系要及时总结归纳，如对顶角相等，外角关系等
    • 常见全等模型
      • 1、倍长中线模型
        • 题目条件中有明确的中点或中线提示
        • 常见题目类型为求中线的长度范围
      • 2、手拉手模型
        • 模型特点：
          • 两个形状相同的三角形(顶角度数相等的等腰三角形或等边三角形)或正方形
          • 有顶角的顶点作为两个图形的公共顶点
        • 破解方法
          • 先找出公共顶点
          • 从公共顶点出发，分别描出三角形的两条边
          • 左手拉左手，右手拉右手进行连接，所得两个三角形必然全等
          • 常用的判定方法为SAS，其中家教通常需要进行等量代换
          • 多个结论问题时，要注意及时总结等量关系
      • 3、垂直模型
        • 模型特点
          • 题目中多次出现直角或直角三角形
          • 有等腰直角三角形存在
        • 破解方法
          • 利用同角或等角的余角相等进行等量代换
          • 多数情况下用AAS或ASA进行证明
      • 4、一线三等角模型
        • 模型特点
          • 三角形一边所在直线出现三个相等的角
        • 破解方法
          • 利用三角形的外角性质进行等量代换
      • 两种模型都可以通过外角性质进行等量代换找到角相等的条件
      • 5、角平分线模型
        • 模型特点
          • 有明确的的角平分线提示
        • 破解方法
          • 利用角平分线的性质添加辅助线
          • 利用角平分线构造轴对称图形构成全等
      • 6、截长补短模型
        • 模型特点
          • 题目要求证明线段之间的和差关系
        • 破解方法
          • 截长：找到最长的线段，在上面截取与某一条线段等长线段后构造全等，注意及时整理新的等量关系
          • 补短：选择适当线段进行延长，构造全等
    • 常见应用
      • 证明线段或角相等
  • 角平分线
    • 角平分线的尺规作图步骤
      • 1、以角的顶点O作为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N
      • 2、分别以点M、点N为圆心，大于1/2MN长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C
      • 3、画射线OC，即为∠AOB的平分线
      • 要求会作图，会根据过程进行辨析
    • 角平分线的性质
      • 角平分线上的点到角的两边距离相等
        • 1、点到直线的距离为垂线段的长度 2、注意三角形的高也是垂线段的一种体现，灵活利用面积相等进行等量代换
    • 角平分线的判定
      • 1、定义:证明分得的两个角大小相等
      • 2、性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
        • 注意通过等面积法进行垂线段相等的求证
• 尺规作图
  • 做一个角等于已知角
  • 做线段的垂直平分线
  • 角的平分线