导图社区 解析几何
这是一篇关于高中解析几何的思维导图，主要内容有椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线等。
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解析几何
直线与圆方程
直线
倾斜角及斜率
倾斜角
一条直线与x轴正半轴的夹角叫做倾斜角，用α表示
斜率
斜率k=tanα
斜率公式:k=(y1－y2)/(x1－x2)
α=90°，斜率不存在
直线位置关系
平行
当k1=k2，l1∥l2
当两直线斜率都不存在，两直线平行
垂直
当k1×k2=－1，l1⊥l2
当一条直线斜率不存在，另一条斜率为0，这两条直线垂直
直线方程
点斜式
过一个点(a,b)的直线，可用y-b=k(x-a)表示，k为斜率
斜率不存在不可用
斜截式
过(0,b)的点可用y=kx+b表示，b称为该直线到y轴上的截距
两点式
过点(x1,y1)(x2,y2)的直线，可用(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)表示
x1=x2或y1=y2不可用
截距式
一条x轴上截距为a，y轴上截距为b的直线，可用x/a+y/b=1表示
当a=0或b=0不可用
直线交点坐标
直线l1与l2的交点(a,b)同时满足l1,l2方程
距离公式
A(x1,y1)到B(x2,y2)的距离为√(x1-x2)²+(y1-y2)²
AB的斜率为k，则丨AB丨=√(1+k²)×√(x1+x2)²-4x1×x2(弦长公式)
A到l:Ax+By+C=0之间的距离为丨Ax1+By1+C丨/(A²+B²)
圆
圆方程
以(a,b)为圆心,r为半径的圆，可用(x-a)²+(y-b)²=0表示
圆也可以用x²+y²+Dx+Ey+F=0表示
半径为1/2√D²+E²-4F,故要求D²+E²-4F＞0
直线与圆位置关系
相离:圆心(a,b)到l距离大于r
相切:圆心(a,b)到l距离等于r
相交:圆心(a,b)到l距离小于r
圆与圆位置关系
外离:两圆圆心距离大于半径和
外切:两圆圆心距离等于半径和
相交:两圆圆心距离小于半径和大于半径差绝对值
内切:两圆圆心距离等于半径差绝对值
内含:两圆圆心距离小于半径差绝对值
圆锥曲线方程
椭圆
椭圆定义
对于两点F1(-c,0),F2(c,0),有一点P,使得丨PF1丨＋丨PF2丨=2a,a>c,则P轨迹为椭圆
F1,F2称为该椭圆焦点
椭圆方程
焦点在x轴,用x²/a²+y²/b²=1表示(a>b>0)
焦点在y轴，用y²/a²＋x²/b²=1表示(a>b>0)
其中b²=a²-c²
椭圆简单性质
顶点
焦点在x轴,顶点(a,0)(-a,0)(0,b)(0,－b)
焦点在y轴,顶点(0,a)(0,-a)(b,0)(-b,0)
对称
关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称
离心率
e=c/a,衡量扁平程度,0<e<1
双曲线
双曲线定义
对于两点F1(-c,0),F2(c,0),有一点P,使得丨丨PF1丨－丨PF2丨丨=2a, a＜c,则P轨迹为双曲线
F1,F2为焦点
双曲线方程
焦点在x轴,用x²/a²-y²/b²=1表示
焦点在y轴，用y²/a²-x²/b²=1表示
其中b²=c²-a²
双曲线简单性质
焦点在x轴,(-a,0)(a,0)
焦点在y轴,(0,a)(0,-a)
对称轴
关于x,y轴对称
e=c/a,衡量开口大小,e>1
渐近线
焦点在x轴上,y=±b/a
焦点在y轴上,y=±a/b
抛物线
抛物线定义
对于一个定点F和一条定直线l,一点P到F和l的距离相等,P的轨迹为抛物线
F为焦点,l为准线
抛物线方程
y²=2px(p>0),F(p/2,0),l:x=-p/2
y²=2px(p<0),F(p/2,0),l:x=-p/2
x²=2py(p>0),F(0,p/2),l:y=-p/2
x²=2py(p<0),F(0,p/2),l:y=-p/2
抛物线简单性质
始终是原点,即(0,0)
焦点在x轴,关于x轴对称
焦点在y轴,关于y轴对称
始终为1
直线与圆锥曲线
将直线方程代入圆锥曲线方程，消去x或y，得到一元二次方程
若Δ<0，直线与该圆锥曲线没有交点
若Δ=0，直线与该圆锥曲线有一个交点
若Δ＞0，直线与该圆锥曲线有两个交点
只有Δ＞0,两交点满足韦达定理,用于探索性问题
