复变解析函数

这是一篇关于复变解析函数的思维导图，包括复变函数、解析函数、调和函数、常见初等函数等内容，希望对大家有用。

复变函数

复变函数

解析函数

定义

如果函数 f (z) 在z0及z0的某邻域内处处可导, 则称 f (z) 在z0解析

定义

如果函数 f (z) 在 区域D内每一点都解析, 则称 f (z) 在区域D内解析

例子

f(z)=x-iy处处连续，处处不可导，处处不解析

奇点

若f(z)在z0处不解析，则称z0是f(z)的奇点

关系

一点处：解析则可导，反之不成立

区域内：解析则可导，反之成立

充要条件

实部虚部处处可微，满足C-R方程（Ux=Vy,Uy=-Vx）

虚部是实部的共轭调和函数

构造方法

偏积分法

线积分法

调和函数

定义

如果二元实函数Φ(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程(对x和对y的二阶偏导之和等于0)

和解析函数关系

设函数f(z)=u+iv在区域D内解析，则f(z)的实部和虚部在区域D内是调和函数

共轭调和函数

区域D上解析函数的虚部为实部的共轭调和函数

常见初等函数

复指数函数

定义

e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)

性质

复对数函数

定义

若ew=z(z≠0,∞)，则复数w称为复数z的对数，记为w=Logz=log|z|+i(arg z+2kπ)(k=0,±1,±2,...}

性质

Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2

Ln(z1/z2)=Lnz1-Lnz2

对主值而言，在除去原点及负实轴的复平面上是解析的,并且对主值而言，在除去原点及负实轴的复平面上是解析的

幂函数

定义

性质

无穷多值函数

三角函数

定义

性质

cosz与sinz均为单值函数COSZ与sinz均为单值函数

cosz与sinz均以2T为周期

cosz是偶函数，sinz是奇函数

cosz与sinz均以2T为周期

cosz与sinz均为无界函数

cosz与sinz在复平面上解析,且有(sinz) = cosz, (cosz) =-sinz.