高中数学必修二圆与方程

本思维导图总结了与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等内容的知识点，希望对大家有用。

圆 与方程

• 圆的方程
  • 圆的标准方程
    • 圆的定义∶平面内“定点”的距离等于“定长”的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为园的半径
    • 确定圆的要素∶圆心和半径
    • 圆的标准方程∶圆心为（a，b)，半径为r的圆的标准方程是（x-a)²+（y-b)² 当a=b时，方程为x²+y²=r²，表示已“原点“为圆心，半径为r的圆
      • 原点为坐标原点
      • 圆心在x轴上∶（x-a)²+y²=r²（r≠0）
      • 圆心在y轴上∶x²+（y-b)²=r² （r≠0）
  • 圆的一般方程
    • 圆的一般方程∶x²+y²+Dx+Ey+F=0,圆心为（-D/2，-E/2),半径r=1/2√D²+E²-4F=0
      • x²与y²的系数相同且≠0
    • 表示条件∶D²+E²-4F＞0
  • 注意
    • (1)求圆的方程需要 三个独立条件，所以不论是设哪-种圆的方程都要列出系数的三个独立方程、
    • (2)对于方程x2+y2+ Dx+ Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这- - 条件.
• 直线，圆的位置关系
  • 点与圆的位置关系
    • 点M(xo, yo)与圆(x-a)2+(>- b)}2=r2的位置关系:
      • (1)若M(x₀, y₀)在圆外， 则(x₀--a)2+(y₀--b)2>r²
      • (2)若M(x₀，y₀)在圆上， 则(x₀--a)²+(y₀--b)²=r²
      • (3)若M(x₀，y₀)在圆内， 则(x₀--a)²+(y₀--b)²＜r²
  • 直线与圆的位置关系
    • 设直线l: Ax+By+C=0(A²+B²≠0), . 圆: (x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)
      • 相交
        • d＜r┋△＞0
      • 相切
        • d=0┋△=0
      • 相离
        • d＞0┋△＜0
    • 过一点的圆的切线方程的求法
      • 1.当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
      • 2.若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
    • 概要
      • 1.几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
      • 2.代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
      • 3.直线系法:若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系。
  • 圆与圆的位置关系
    • 外离
      • 两个圆没有公共点时，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部
      • d＞R₁+R₂
    • 外切
      • 两个圆有唯一公共点时，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部
      • d=R₁+R₂
    • 相交
      • 两个圆有两个公共点
      • ｜R₁-R₂｜＜d＜｜R₁+R₂｜
    • 内切
      • 两个圆有唯一公共点时， 并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部
      • 0<d=｜R₁-R₂｜
    • 内含
      • 两个圆没有公共点时，并且一一个圆上的点都在另一个圆的内部
      • 0≤d<｜R₁-R₂｜