高数常用知识点考试学习笔记

高等数学知识点整理 - 思维导图 一、函数 先理清一些基本概念,比如函数的定义、函数的性质,什么是复合函数、反函数、隐函数。 理解概念很重要!理解概念很重要!理解概念很重要!...

高数常用知识点考试学习笔记

• 函数与极限
  • 函数
    • 概念
      • 抽象模型
    • 连续性
      • 极限存在且等于函数值
    • 奇偶性
    • 周期性
    • 单调性
    • 有界性
  • 极限
    • 定义
      • 定义法证明极限值
      • 函数在一点邻域的值
        • 逼近一点的值
    • 数列极限
      • 单调有界
    • 函数极限
      • 极限存在
        • 左右极限存在，且相等
        • 极限存在定理
          • 单调有界
          • 夹逼准则
            • 放缩
    • 求解极限（单双侧极限
      • 一般化简
      • 洛必达
        • 限制
          • 特殊分式
          • 分式上下分别求导后，极限要存在（无穷大易可
      • 重要极限
      • 无穷小代换
        • 泰勒公式等价替换
          • 麦克劳林级数皮亚诺余项
  • 题型
    • 极限
    • 连续性
    • 间断点
    • 凹凸性
    • 极值
• 一元函数微分学
  • 概念
    • 导数定义
    • 性质
  • 导数
    • 一阶导数
      • 定义求解
      • 连续可导，公式法
    • 二阶导数
    • 高阶导数
  • 微分
    • 全增量
    • 全微分
    • 可微
    • 微分应用
  • 一元微分学应用
    • 单调性
    • 极值最值
      • 一阶导数
    • 凹凸性
      • 二阶导数
    • 经济学应用
      • 经济学概念
      • 指标
        • 弹性系数
          • 需求的价格弹性
          • 供给的价格弹性
          • 概要
            • 点弹性，点导数*（x/f(x))
            • 区间弹性，f（x+dx）-f（x）=f’（x）*dx
      • 方程
        • 边际函数
          • 边际成本C=C（Q）
          • 边际收益R=R（Q）
          • 边际利润L=L(Q)
          • 概要
            • 以Q为自变量的函数
            • 由相应的函数方程求导得到
  • 微分中值定理
• 积分学
  • 不定积分
    • 积分概念
    • 积分的计算
      • 基本方法
        • 分部积分
          • 直接分部积分求解，简化积分式子求解
          • 1.形成原式，消积分求解 2.多次相同积分求导消掉幂次项求解
            • 一般为三角与指数函数包含的式子
            • 分部积分，表格法
              • 上导下积分 正负交错 最后积分上下乘
        • 公式法
        • 换元积分法
          • 第一类，凑
          • 第二类，换
      • 有理函数，即假分式化真，真分式拆分，分别积分
        • 多项式除法
        • 拆项待定系数法
      • 无理函数，分母有理化，拆分分别积分
        • 无理函数，STS三角带换，消根治，注意代还原式
          • sin，tan，sec
      • 三角函数
        • 1的使用
        • 积化和差，倍角公式
        • 分母的和差化积_单一化，分子拆分分别积分
        • 万能公式
        • 变量代换
          • SCT替换，即sin，cos，tan，消除三角函数式
      • 反三角函数及其他复杂不可直接积分
        • 分部积分，对难积分的式子求导
    • 应用类
      • 分段函数积分
        • 注意连续性，间断点
      • 复合函数积分
        • 先求出原式，再积分
  • 定积分
    • 定积分
      • 概念
        • 加上上下限的不定积分
          • 定义
            • 数列积分
          • 原理
            • 牛莱公式
            • 积分中值定理
          • 性质
            • 线性
            • 可加
            • 保号性
      • 计算，不定积分为定积分服务
        • 常规方法
          • 换元法
          • 分布积分法
          • 思想简化计算
          • 分项积分
        • 性质运用
          • 奇偶性
          • 周期性
        • 三角函数的多种性质计算
          • 奇偶，周期，相消
          • 华氏点火公式
        • 变限积分
    • 反常积分，敛散
      • 无穷区间
      • 瑕点，无界函数
      • 混合计算
      • 重要反常积分公式
    • 积分应用
      • 微元法
        • 面积计算
          • 直角坐标
          • 极坐标
        • 旋转体计算
          • x轴
          • y轴，壳铸法
      • 经济学应用
        • 边际函数求原函数
  • 二重积分 9.23
    • 概念定义
      • 微元法定义
      • 几何定义
      • 积分区域面积为正，即ffdxdy=S
    • 性质定理
      • 运算性质
        • 可加性，可拆性
        • 数乘
        • 保号性
          • 大小比较
          • 可推出估值定理
      • 对称性
        • 奇偶对称性
          • 对区间及函数的要求
        • 轮转对称性
          • 仅对区间有对称要求
            • 被积区间不变
      • 和式极限
      • 中值定理
      • 估值定理
        • mS< <MS
    • 计算
      • 直角坐标
        • X型
        • Y型
        • 对称性
          • 轮转对称性
          • 奇偶对称性
      • 极坐标
        • 先对极径积分
        • 换极点
    • 题型
      • 基本计算
      • 性质
      • 奇偶，轮换
      • 分块
      • 交换积分次序与变换坐标系
        • 积分区域为圆或者扇形，或者规范形状如三角矩形
        • 被积函数为明显可化为圆的函数
      • 反常积分
        • 瑕点发散，则积分发散
• 多元微分学
  • 概念
    • 极限，连续
      • 极限求法10.7
        • 不存在：假设举例法
        • 存在
          • 无穷小*有界量
          • 无穷小比阶
          • 一般化简：有界量+无穷小量
    • 定义，性质
      • 介值定理
        • 最值定理
      • 有界最值
    • 可微
      • 一阶偏导数都连续
        • 充分不必要条件
      • 其他性质
        • 全增量-全微分为距离微元的高阶无穷小量10.7
          • 一般证得不可微
          • 多元极限的不同路径法证极限不存在
        • 可导，偏导数都存在
        • 连续
  • 偏导
    • 一般偏导
    • 复合函数偏导
      • 链式求导法则10.7
        • 易与抽象函数的隐函数求导混淆
    • 高阶偏导
    • 隐函数求导
      • 1自变量，一因变量
      • 2自变量，一因变量
      • 1自变量，2因变量
    • 偏导数求原函数
  • 多元极值10.7
    • 非条件极值
      • 1.偏导数求点
        • 必要条件：一阶偏导数为0的点
      • 2.二阶偏导数判别法，判别点是否为极值
        • 充分条件：AC--B^2 >0
        • 多元函数有一阶二阶连续偏导数
      • 代入点，求解极值
    • 条件极值
      • 约束条件
        • 方程
          • 纯条件极值
        • 不等式
          • 一般为求最值
            • 非条件极值结合条件极值
      • 求法：拉格朗日乘数法
        • 1.辅助函数（方程）
          • 取得极值的必要条件
        • 2.偏导数方程组求解
          • 代值法
          • 零点存在性定理
          • 图像法估零点个数
        • 代入原方程组
          • 最大的为极大值
          • 最小的为最小值
    • 最值
      • 求法
        • 1.非条件极值求范围内极值
        • 2.条件极值求边界最值
• 计算步骤及思路
  • 看被积函数及积分域
    • 判断题型
  • 选择计算思路
    • 化简
      • 奇偶对称性，轮换对称性
    • 拆分
      • 分块，拆式子
    • 换序，换坐标系
      • 画图
  • 确定积分上下限
  • 累次积分
  • 检查计算过程的书写一致性
• 无穷级数
  • 常数项级数 9.29
    • 概念
      • 数列求和极限敛散
        • lim Sn存在，收敛
        • 不存在，发散
      • 性质
        • 可加性
        • 数乘
        • 有限项数列增减不改变敛散性
        • 添加括号
          • 收敛性不降低，可能提高或者不变
        • Sn收敛，则an极限为0
    • 类型
      • 等比数列敛散性判定
        • p>=1,发散
        • p<1,收敛 aq/1-q
      • 正数项级数敛散性判定
        • 性质定义
          • an>0,Sn递增
          • Sn有上界，且极限存在，收敛
        • 审敛法
          • 比较判例法（放缩
            • 定义
              • an<bn,bn收敛则an收敛
              • an>bn,bn发散，则an发散
            • 类型
              • 无穷小比阶 放缩
              • 积分放缩
              • P级数
                • Sum(1/(n^p))
                  • p>1,收敛
                  • p<=1,发散
          • 极值法
            • lim n倍√an=p
              • p<1,收敛
              • p>1,发散
          • 同数列比较法
            • lim（An+1/An)=p
              • p<1,收敛
              • p>1,发散
      • 交错级数
        • 定义
          • an前正负号交错
          • 审敛法
            • 莱布尼兹法
              • an单调不增，极限为0，则收敛
              • S<a1
    • 绝对收敛与条件收敛
      • 绝对收敛
        • 级数绝对收敛，交错级数必收敛
      • 条件收敛
        • 交错级数收敛，级数项取绝对值发散
      • 概要
        • 交错加速了收敛，加绝对值消除了这种加速
  • 幂级数
    • 概念
      • 级数的收敛取决于x的取值
        • 确定x后，收敛性由其系数组成的级数决定
      • x的收敛域
      • 定理
        • 阿贝尔定理
          • 幂级数在一点x0收敛则，|x|<x0时，级数绝对收敛
        • 逐项可积性
        • 逐项可导性
    • 收敛半径收敛域
      • x的n次幂型
        • lim |An+1/An|=p,
          • p=0，R为无穷
          • p=正无穷，R为0
          • p>0, R=1/p
        • lim n倍√|an|=p
          • p=0，R为无穷
          • p=正无穷，R为0
          • p>0, R=1/p
      • 缺项级数的判敛法则
        • 直接对级数项使用比较判别法判断敛散性
    • 常用的麦克劳林级数展开及收敛域
      • e^x=
      • sinx=
      • …总共8个
• 常微分方程
  • 概念
    • 微分方程形式
      • 由最高阶导数次数决定阶数
    • 通过导数方程求解函数
  • 一阶微分方程
    • 可分离变量的方程
    • 齐次微分方程u=y/x，dy=xdu+udx
    • 线性微分方程
      • 非齐次式
      • 齐次式
      • 通用公式求解
    • 可降阶微分方程
      • f（y”，y'，x）
      • f（，y',y）
  • 二阶微分方程
    • 性质定理
      • 线性通解及解
      • 叠加原理
    • 齐次
      • 特征方程，通解
        • 实数解
        • y''+py'+qy=0
        • 复数解
    • 非齐次
      • 设参数求解特解
        • 线性特解
        • 纯非线性特解
        • y''+py'+qy=f(x)
        • 混合特解
  • 差分方程
    • 一阶差分
      • 齐次差分
      • 非齐次差分
        • 齐次通解
        • 特解
    • 二阶差分
      • 化为一阶差分
  • 问题
    • 基础的不定积分
    • 常用公式记忆
    • 函数结合的题目
    • 常微分方程形的识别