第四章 图形的相似

这是一篇关于第四章 图形的相似的思维导图，主要内容有成比例线段、相似多边形、相似三角形、相似三角形的应用、图形的位似。

第四章 图形的相似

• 成比例线段
  • 定义：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.
  • 比例中项：一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
  • 性质
    • 基本性质：若a/b=c/d，则有ad=bc
    • 合比性质：若a/b=c/d，则有(a+b)/b=(c+d)/d（注意：在分子上加分母）
    • 分比性质：若a/b=c/d，则有(a-b)/b=(c-d)/d
    • 等比性质：若 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)， 则有(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b=c/d…=m/n
    • 更比性质：若a/b=c/d，则有a/c=b/d
    • 反比性质：若a/b=c/d，则有b/a=d/c
  • 平行线分线段成比例
    • 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
    • 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
      • “A”字型
      • “8”字型
• 相似多边形
  • 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形是相似多边形。
  • 性质
    • 对应角分别相等，对应边的比等于相似比。
    • 周长的比等于相似比
    • 面积的比等于相似比的平方
• 相似三角形
  • 定义：三个角分别相等、三边分别成比例的两个三角形
  • 判定定理
    • 两角分别相等的两个三角形相似
    • 三边成比例的两个三角形相似
    • 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
  • 黄金分割
    • 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC。如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
    • 黄金比：黄金比为（根号5-1）/2，约等于0.618
    • 黄金三角形
      • 等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
      • 等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
  • 性质
    • 对应角相等，对应边成比例
    • 对应高，对应中线，对应角平分线、对应周长的比都等于相似比
    • 面积之比等于相似比的平方
• 相似三角形的应用
  • 证明角相等、线段成比例、求线段长
  • 测量物体的高度
    • 利用影子
    • 利用镜子
    • 利用标杆
• 图形的位似
  • 位似多边形
    • 定义：位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比。如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或在一条直线上），像这样的两个图形叫做位似图形。
    • 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
  • 位似
    • 内位似：内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上
    • 外位似：外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外
  • 画位似图形
    • 找准位似中心
    • 由位似中心确定关键点的对应点
  • 平面直角坐标系中的位似变换
    • （a，b）以原点为位似中心+k为相似比=（ka,kb）或（-ka,-kb）