微分方程与差分方程

这是一个关于微分方程与差分方程的思维导图，包含未知函数的差分及自变数的方程。在求微分方程*的数值解时，常把其中的微分用相应的差分来近似，所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化*的一个例子。

微分方程与差分方程

• 二阶常系数线性微分方程
  • 齐次线性微分方程y"+py′+y=0
    • r^2+pr+q=0 为特征方程
    • 共轭复根
      • 定理1 如果函数y1和y2是方程的两个特解，且y2/y1≠k则y=C1y1+C2y2是方程的通解，其中C1，C2是任意常数。
      • 
    • r1=r2
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    • r1≠r2
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  • 二阶常系数非齐次线性微分方程
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      • 看入决定k 与特征方程的根方程
        • 不是方程的根 k=0
        • 是单根k=1
        • 重根 k=2
• 微分方程的定义
  • 定义1
    • 未知函数的导数（必须有）
    • 微分及自变量之间的关系
    • 未知函数
    • 常微分方程，偏微分方程
  • 定义2
    • 微分方程的阶
      • 初始条件
  • 定义3
    • 微分方程的解（函数）
• 可降阶的二阶微分方程
  • y"=f(x)
    • 两次积分
  • y"=f(x,y')
    • 设p=y′ ；求p' 代入方程 ；分离变量
• 一阶微分方程
  • 可分离变量
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  • 齐次方程
    • dy/dx=f(y/x)
      • 设y/x=u
  • 一次线性微分方程
    • 一个方程的特解等于对应的齐次方程的通 解与非齐次方程的一个特解的和
    • 样式
      • dy/dx+P(x)y=Q(x)
    • 步骤
      • Q（x）=0
      • C看为C（x)
      • C（x)'代入原方程
• 差分方程