初三圆知识点总结

在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆(Circle)。 在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(Circle) 圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心 圆具有旋转不变性 圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

圆

• 圆的有关性质
  • 圆的定义
    • 静态定义
      • 所有到圆心的距离等于定长的点的集合
    • 动态定义
      • 一段线段绕它的一个断点旋转一周，另外一个端点所形成的的图形叫做圆(注意圆指的是圆上一周不包括中间)
    • 决定圆的两个要素 圆心的位置和半径的大小
  • 圆的相关定义
    • 弧
      • 圆上任意两点间的部分
    • 弦
      • 圆上任意两点间的部分
    • 直径
      • 经过圆心的弦是直径，直径是最长的弦
    • 等圆
      • 圆心不同，半径相等的圆
    • 同圆
      • 圆心相同，半径也相同的圆
    • 同心圆
      • 圆心相同，半径不同的圆
    • 等弧
      • 能重合的两段弧叫等弧，而非长度相同的两段弧
  • 垂直于弦的直径
    • 垂径定理
      • 直径垂直弦，那么它也平分弦和弦所对的两条弧。
    • 垂径定理的推论
      • 直径平分弦（不是直径），那么它就垂直弦，平分弦所对的两条弧。
    • 常见题型：利用弦的一半、圆心到弦的距离和半径构成的直角三角形和圆心到弦的距离与弦的中心到圆上的线段相加等于直径这两种数量关系去求解某一个量。
  • 弧弦圆心角圆周角
    • 圆心角定义
      • 顶点在圆心的角叫做圆心角
    • 圆周角定义
      • 顶点在圆上的角叫做圆周角
    • 弦心距的定义
      • 圆心到弦的距离
    • 圆内接四边形定义
      • 如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
    • 四个量之间的关系
      • 在同圆或等圆（两个长得一样的圆）中，所对应的弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距中，有一个量相等，其他四个量也相等。
    • 圆周角定理
      • 一条弧所对应的圆周角等于圆心角的一般
    • 圆周角定理的推论
      • 1.同弧或等弧所对的圆周角相等
      • 2.直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径。
      • 3.圆内接四边形对角之和是180°（互补）
• 点和圆、直线和圆的位置关系
  • 点和圆的位置关系
    • 位置关系：点在圆内、圆上、圆外
    • 外接圆和外心：不在同一直线的三个点（三角形的三个顶点）确定唯一的一个圆（三角形的外接圆）。做法：做三角形任意两条边垂直平分线的交点，交点即为圆心（外心），圆心到任意顶点的距离即为半径。
    • 判断位置关系的方法:比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小 ①d<r点在圆内②d=r点在圆上③d>r点在圆外
    • 反证法：是一种证明方法，假设原命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾不成立断定假设不正确，从而得到原命题成立的证明方法。
  • 直线和圆的位置关系
    • 位置关系：相交（割线）、相切（切线、切点）、相离
    • 判断方法2个
      • 直线和圆的交点个数：0个相离、1个相切、2个相交
      • 圆心到直线的距离d与r的大小 ：①d=r相切②d>r相离③d<r相交
    • 相切
      • 切线定义：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
      • 切线的判定方法：重点是判定两点①经过圆上一点②与过这一点的半径垂直
      • 常见题型的两种思路：①有交点连半径证垂直②无交点做垂直证半径
      • 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
      • 切线长：经过圆外一点的圆对的切线上，这点和切点之间的线段长叫做切线长。
      • 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
      • 三角形的内切圆和内心：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。做法：做三角形任意两角角平分线的交点即为圆心（内心），圆心到任意一边的距离是半径。
        • 直角三角形内切圆半径求解公式：
• 正多边形和圆
  • 正多边形定义：边相等，角也相等的多边形叫做正多边形
  • 正多边形在它的外接圆中相关概念：①中心，外接圆圆形叫做正多边形的中心②半径，外接圆半径叫做正多边形的半径③正多边形每条边所对圆心角叫正多边形的中心角④中心到正多边形一条边的距离叫做正多边形的边心距
  • 圆内接正n边形中心角度数求法：360°除以n
  • 常见题型思路：利用边心距、正多边形边长的一半和圆的半径构成的直角三角形以及三角形内角的度数求解。
  • 圆内接正多边形画法：①利用量角器和圆规②利用圆规③尺规作图
  • 体会割圆术中存在的微积分思想
• 弧长和扇形面积
  • 1个弧长公式：
  • 2个扇形面积公式：
  • 圆锥侧面积公式和全面积公式：
  • 解题思路：利用圆锥和他的侧面展开扇形关系①圆锥母线等于扇形半径②圆锥的底面圆周长等于扇形弧长③圆锥的高、母线和底面圆半径满足勾股定理