数列

这是一篇关于数列的思维导图，主要内容有数列的概念、数列的分类、数列的通项公式、数列与函数的关系、数列的递推公式等。

数列

• 数列的概念
  • 定义
    • 按照确定的顺序排列的一列数称为数列
  • 项
    • 数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项
  • 记法
    • 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为｛an｝
• 数列的分类
  • 按项的个数分
    • 有穷数列
      • 项数有限的数列
    • 无穷数列
      • 项数无限的数列
  • 按项的变化趋势分类
    • 递增数列
      • 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
    • 递减数列
      • 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
    • 常数列
      • 各项都相等的数列
• 数列的通项公式
  • 如果数列｛an｝的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
• 数列与函数的关系
  • 表示：它们的变量都满足函数定义，都是函数。可以有an=f(n)，函数和数列的问题可以相互转化。
  • 数列单调性的判断
    • 利用数列单调性的定义判断
      • 作差法
      • 作商法
    • 利用数列的图象直观地判断
  • 利用数列的单调性确定变量的取值范围
    • 数列｛an｝递增 ➡️an+1＞an（n属于N*）
    • 数列｛an｝递减➡️an+1＜an（n属于N*）
    • 转化为不等式成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围
• 数列的递推公式
  • 定义
    • 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
• 数列的前n项和
  • 定义
    • 把数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛an｝的前n项和，记作Sn 即Sn=a1+a2+…+an
  • 数列的前n项和公式
    • 如果数列｛an｝的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式
    • 显然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1（n大于等于2），于是我们有an=S1，n=1或an=Sn-Sn-1，n大于等于2
  • 应用数列前n项和公式的易错点
    • 在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n=1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式，但它只适用于n大于等于2的情形
• 求数列通项公式的方法
  • 由数列前五项观察猜想
  • 累加法
    • an=an-1+f（n），累加得an-a1=f（2） +f（3）+f（n） an=a1+f（2）+f（3）+…+f（n） 用后一项减前一项
    • 当数列的递推公式为an+1-an=常数，或an+1-an=f（n）（f（n）可以求和）时，使用累加法或迭代法求数列的通项公式
  • 累乘法
    • 当数列的递推公式为an+1=pan（p为非零常数），或an+1=f（n）（f（n）可以求和）时，使用累乘法或迭代法求数列的通项公式
  • 由Sn求通项公式an
    • 当n=1时，a1=S1
    • 当n大于等于2时，根据Sn写出Sn-1，化简an=Sn-Sn-1
    • 如果a1也满足当n大于等于2时，an=Sn-Sn-1的通项公式，那么数列｛an｝的通项公式为an=Sn-Sn-1；否则数列｛an｝要分段表示为an=S1，n=1 an=Sn-Sn-1，n大于等于2