导图社区 导数
则是一篇关于导数的思维导图，包括导数的概念与运算、导数的几何意义、导数与单调性、研究函数的极值最值等内容。
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导数
导数的概念与运算
⒈平均变化率
⑴△y/△x＝f（x₀+△x）-f（x₀）/△x
⑵△x不能单独留在分母上
⑶一差二比
⒉瞬时变化率
⑴瞬时变化率即平均变化率取极限（lim）
⑵△x＝0，若式子有意义，代入求值，即△x→0的极限值
⑶一差二比三极限
⒊导数的概念
⑴瞬时变化率即导数
⑵脱壳大法：脱壳，去极限，乘导数
⒋导数的运算
⑴导数公式表
⑵四则运算法则
①和差式求导，求导再和差
②带系数求导，求导乘系数
③（u·v）´＝u´·v+u·v´
④（u/v）´＝（u´·v-u·v´）/u²
⑶带导问题
求导，f´（x₀）视为常数
⑷多项连乘求导问题
划拉法
⑸复合函数求导
区分内外，各自求导再相乘
导数的几何意义
⒈奇偶函数的求导
函数与导函数，奇偶互换
⒉导数与切线
⑴函数的切线
f（x）在x＝x₀处的切线，k＝f´（x₀）
⑵求切线方程
①“在”某点的切线
求导数
定斜率
点斜式
②“过”某点的切线
大题
常规方法
设切点
代坐标
解方程
斜率构造法（仅用于结果计算）
y＝纵坐标的差/横坐标的差，y´=0处即为切点
选填
三次方程韦达定理（点在曲线上）
是切点，直接求出切线
非切点：2x切+x过＝-b/a
猜根+大除法
猜根：±1，±2，±3
大除法：拉→乘→加
⑶由切线求参
①由切线方程求参
k切线＝f´（x₀）
切点（x₀，f（x₀））在切线上
②由切线条数求参
转化为点的位置问题，或方程的根的个数问题
⑷公切线问题
①共切线
f（x₀）＝g（x₀）
f´（x₀）＝g´（x₀）
②不共切线
f´（x₁）＝g´（x₂）＝[f（x₁）-g（x₂）]/（x₁-x₂）
一条曲线是抛物线时，可与直线方程联立，用△＝0处理
③同型曲线，f´（x）单调
找平移向量（m，n），k公切线＝n/m
⒊距离最值问题
⑴直曲距离最值
曲线上一点到直线l的距离最小值，切线转化：找l´∥l，且l´与曲线相切，l´与l的距离，或切点与l的距离，即所求最小值
⑵曲曲距离最值
关于y＝kx+b对称的两条曲线上各取一点，求距离最小值，切线转化：找到两条曲线斜率为k切线，切线的距离（切点的距离）即所求
⑶f（x）上一点（x₁，y₁）到g（x）上一点（x₂，y₂）的距离取得最小值时，f´（x₁）＝g´（x₂）＝-（x₂-x₁）/（y₂-y₁）
导数与单调性
⒈函数与导数图像
导数看正负，函数看增减
⒉具体函数的单调性（先看定义域）
⑴一次型
①f´（x）＝ax+b
②f´（x）＝（ax+b）/x，x＞0
⑵类一次型
①f´（x）＝（ax²+bx+c）/eˣ
②f´（x）＝（ax²+bx+c）/x，x＞0
⑶二次型
①f´（x）＝x²-4x+3
②f´（x）＝（x²-4x+3）/x，x＞0
⑷类二次型
①f´（x）＝（eˣ-1）（x-1）＞0
②f´（x）＝x（x-1）＞0
⑸超越方程型
猜根+f´（x）单调性，确定f´（x）的正负
⒊由单调性求参
单调性问题转化：对于函数y＝f（x），在区间M上
⑴y＝f（x）的图像递增：f´（x）≥0且不连续为0
⑵y＝f（x）的图像递减：f´（x）≤0且不连续为0
⑶y＝f（x）存在增区间：f´（x）＞0有解
⑷y＝f（x）存在减区间：f´（x）＜0有解
⒋含参函数的单调性
⑴导后一次型/类一次型
①无定义域限制，若一次项系数不定（讨论系数与0的关系）
②有定义域限制（讨论导函数在定义内是否有零点）
零点存在
零点在定义域内→单调区间与零点有关
零点不在定义域内→单调区间与零点无关
零点不存在→单调区间与零点无关
⑵导后二次型/类二次型
①可因式分解
无定义域限制，讨论二次项系数与0的关系，两根比大小
有定义域限制，最关键的讨论点：f´（x）＝0含参根是否在定义域内
在定义域内→单调区间与含参根有关→两根比大小
不在定义域内→单调区间与含参根无关
②不可因式分解
无定义域限制，讨论二次项系数与0的关系，△≤0或△＞0
有定义域限制，增加讨论点：f´（x）＝0的根是否在定义域内
⒌比较函数值大小
⑴问题构造法（抓“同构”）
①要比较a＝㏑3/2- 3/2，b＝㏑π-π，c＝㏑3-3 构造f（x）＝㏑x-x
②要比较a＝f（1），b＝f（㏑4）/㏑4，c＝f（3）/3 构造g（x）＝f（x）/x
⑵原型构造法（f´（x）与f（x）总是同时出现）
①f´（x）±g´（x）→h（x）＝f（x）±g（x）
②f´（x）g（x）+f（x）g´（x）→h（x）＝f（x）g（x）
③f´（x）g（x）-f（x）g´（x）→h（x）＝f（x）/g（x）
④f´（x）+nf（x）→g（x）＝f（x）·eⁿˣ
⑤xf´（x）+nf（x）→g（x）＝f（x）·xⁿ
⒍解抽象不等式
①要比较a＝ln3/2- 3/2，b＝lnπ-π，c＝ln3-3 构造f（x）＝lnx-x
②要比较a＝f（1），b＝f（ln4）/ln4，c＝f（3）/3 构造g（x）＝f（x）/x
⑶给导数不等式，解抽象不等式（仅用于不含任何性质（如：奇偶性）的函数）
大同小异：导前正，看大小，大相同，小相反
用导数研究函数的极值最值
⒈导数与极值
⑴对于（a，b）上可导的函数f（x），x₀∈（a，b）
①若在x₀附近的左侧f´（x）＞0，右侧f´（x）＜0，那么f（x）在x＝x₀处取得极大值
②若在x₀附近的左侧f´（x）＜0，右侧f´（x）＞0，那么f（x）在x＝x₀处取得极小值
⑵可导函数f（x）在x₀处取得极值→f´（x₀）＝0 f´（x₀）＝0且x₀左右两侧f´（x）异号（x₀是f´（x）的变号零点）→f（x）在x₀处取得极值
⑶“f（x）在x₀处取得极值”是“f´（x₀）＝0”的既不充分也不必要条件
⒉读图问题
已知f´（x）图像，判断极值点个数
先负后正有极小，先正后负有极大
⒊极值的概念辨析
⑴若函数可导，x₀是f（x）的极值点→f´（x₀）＝0
⑵f´（x₀）＝0且f´（x）在x₀两侧异号→x₀是f（x）的极值点
⑶若函数f（x）连续且可导，如何确定极值和极值点 （极值点为横坐标，极值为纵坐标）
①先找x₀，使得f´（x₀）＝0 操作：求f´（x），解f´（x）＝0
②先减再增有极小，先增再减有极大 操作：分析单调性
⒋具体函数求极值
⑴求导→求f´（x）＝0的根→分析f´（x）的正负，f（x）的单调性→给出结论
⑵大题答题模板 （注意定义域）
求导
求根
列表
答题
⑶三次函数的极值点问题
△＝4（b²-3ac）
△＞0时，f（x）有两个极值点
△≤0时，f（x）无极值点
5.具体函数求最值
⑴求导→分析单调性→求得最值，注意导后超越方程型，需要研究f´（x）的单调性，猜f´（x）的根，再数形结合确定f´（x）的正负
⑵巧用朗博同构xⁿeˣ＝eⁿˡⁿˣ⁺ˣ
⑶先构造函数，再求出最值，各种最值/范围问题，很多用到构造
⑷求极值，求端点处函数值，比大小
⑸大题答题模板
⒍由具体极值点求参
⑴f（x）在x＝x₀处取得极大（小）值
①求导→f´（x₀）＝0求参→验证
②一阶导0，二阶导负（正），三阶导非0（大负小正）
⑵三次函数的极值点
三次函数f（x）ax³+bx²+cx+d，a≠0若有极值，b²-3ac＞0，（x₁，f（x₁））和（x₂，f（x₂））关于三次函数对称中心对称，对称中心（-b/3a，f（-b/3a）），极大值点x₁＝（-b-√b²-3ac）/3a，极小值点x₂＝（-b+√b²-3ac）/3a
⒎已知极值点求参
f´（x₀）＝0，再验证
⒏不等式恒存问题
⑴直接转化为该函数的最值问题
⑵参变分离后，构造新函数，再转化为最值问题
⑶题目翻译
①f（x）≥a恒成立→f（x）的最大值≥a
②f（x）≤a恒成立→f（x）的最小值≤a
③f（x₀）≥a能成立→f（x）的最大值≥a
④f（x₀）≤a能成立→f（x）的最小值≤a
⒐由极值存在性求参
转化为f´（x）的变号零点存在性问题
⑴变号零点：变号零点是零点但是得变号，即f´（x）与x轴的交点（穿过）的横坐标
⑵如果f´（x）＝g（x）-h（x），f´（x）的零点可转化为g（x）与h（x）的交点横坐标，f´（x）的变号零点即g（x）与h（x）的交点（穿过）横坐标
⒑由最值存在性求参
⑴f（x）的开区间内存在最值
必在极值点处取得相应最值，函数有多极值点时，注意比较端点函数值和极值的大小
⑵最值与极值
①若f（x）在开区间上仅有一个极小（大）值点，则极小（大）值点处必有最小（大）值
②若f（x）在开区间上可能有多个极值点，则极值不一定为最值，需要和端点函数值比大小
11.含参函数的极值
同含参函数的单调性分析，区分模型，找到对应的讨论流程或者讨论点
12.含参函数的最值
区分模型
⑴单极值模型，对应则左左右右中极值，非对应则大大小小无区间
⑵双极值模型，对应极值左中右，单调或者比大小
