第四章幂函数、指数函数和对数函数

这是一篇关于第四章幂函数、指数函数和对数函数的思维导图，主要内容有实数指数幂和幂函数、指数函数、对数函数、方程与函数。

第四章幂函数、指数函数和对数函数 

• 实数指数幂和幂函数
  • 有理数指数幂
    • 根式：若一个实数x的n次方（n∈N，n≥2）等于a，即x的n次方＝a，则称x是a的n次方根
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    • 零的正分数指数幂为零零没有负分数指数幂，零的任何次方根都等于零
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    • 有理数运算法则
      • （1）多个a的几次方相乘等于指数相加（a>0，指数∈Q）
      • （2）a的几次方的乘方等于指数相乘（a>0，指数∈Q）
      • （3）ab的几次方等于分别给ab乘方（a和b>0，指数∈Q）
    • 无理数指数幂
      • 有理数指数幂的基本不等式
        • 对任意的正数a>1和两个有理数r>s，a的r次方>a的s次方，a＜1则反之。
      • 概念：是一个确定的实数，是有理数指数幂无限逼近的结果
  • 幂函数
    • 概念：当x为自变量而a为非零实数时，函数y＝x的a次方叫a次幂函数（x∈R，n∈正整数）
    • 性质：a>0时，它在［0，+∞）有定义且递增，为［0，+∞）值域，函数图像过（0，0）和（1，1）
    • a＜0时，它在（0，+∞）上有定义且递减，值域（0，+∞），函数图像过（1，1），向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向，无限接近
• 指数函数
  • 1指数爆炸和指数衰减
    • 指数函数概念：底数为常数，指数为自变量x的函数y＝a×（x∈R）叫做指数函数，其中a>0，且a≠1.
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    • 指数爆炸：当底数a>1时，指数函数值随自变量的增大而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸.
    • 指数衰减：如果底数0＜a＜1时，指数函数值随自变量的增长，而减小以至无限接近于零.
    • 指数函数的解析式的三个特征
      • （1）底数a>0且为不等于1的常数也不含有自变量x
      • （2）指数位置是自变量x，且x的系数是1。
      • （3）a×的系数是1.
  • 指数函数的图像与性质
    • 定义域∈R，值域（0，+∞）过定点（0，1）如果a在（0，1）上，则在R上是减函数，>1则反之
• 对数函数
  • 概念：如果a的b次方＝N（a>0，且a≠1）那么b叫以a为底正数为N的对数，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数.
  • 对数基本恒等式由基本形式推导
  • 对数的运算法则：（1）同底对数中，真数相乘＝两个同底对数相加
  • （2）同底对数真数相除＝两个同底对数相减
  • （3）同底对数的真数次方，次方可挪到对数前
  • （4）对数函数中，底数次方真数次方可将底数的次方做分母，真数次方做分子挪到对数函数前.
  • （5）换底公式底数做分母，真数做分子，换完后，底数随意需>0且≠1
  • （6）底数和真数互换位置相乘为1
  • 对数函数的图像与性质：指数函数与对数函数，互为反函数指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域，二者在图像上关于直线y＝x对称
• 方程与函数
  • 方程的根与函数的零点
    • 概念：一般的图像与x轴交点的横坐标就是函数y等于f（x）的零点
    • 函数零点的存在情况：如果f（x）连续变化且有f（a）-f（b）＜0，则存在点x∈（a，b）使得f（x）＝0
    • 注意：（1）由上只能判断零点存在与否，不能保证存在几个零点
    • （2）零点是点的横坐标，而不是坐标系的一个对应的点
    • 计算函数零点的二分法：不断把一个区间内的函数的零点范围缩小，进而得到零点的近似值的方法