微分几何第二章曲面论

微分几何第二章曲面论知识梳理，包括曲面的概念、曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、直纹面和可展曲面等等。

第二章 曲面论

• 1. 曲面的概念
  • 坐标曲线
    • u-曲线
    • v-曲线
    • 曲纹坐标网
  • 曲面的切平面和法线
    • 光滑曲面
    • 正则点
      • 正则坐标网
    • 切平面
      • 切方向
        • 曲线在曲面某点处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向
      • 切平面的方程
    • 法线
      • 法方向
      • 法线方程
    • 曲面上某点的方向du：dv
  • 命题1
    • 曲面在正则点的领域中总有以下形式的参数表示
  • 命题2
    • 曲面上正则点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量ru和rv所决定的平面上
    • 称这个平面为曲面在这一点的切平面
• 2. 曲面的第一基本形式
  • 曲面的第一基本形式
    • 弧长公式
    • 第一基本形式
    • 第一类基本量
  • 曲面上两方向的交角
    • 曲面上的方向
    • 方向（d）和方向（d）间的交角q
    • 正交坐标网
      • F=0
  • 曲面域的面积
  • 等距变换
    • 定义
      • 如果曲面之间的一个变换保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）
    • 定理
      • 两个曲面之间是等距变换充要条件是他们具有相同的第一基本形式
  • 保角变换
    • 定义
      • 如果曲面之间的一个变换使曲面上对应曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换
    • 定理
      • 两个曲面之间是保角变换充要条件是他们的第一基本形式成比例
• 3. 曲面的第二基本形式
  • 曲面的第二基本形式
    • 第二基本形式
    • 第二类基本量
  • 曲面上曲线的曲率
    • 法截面
      • 曲面S上一点P和P点处一方向（d），n为曲面在P点的法方向
      • （d）和n确定的平面称为曲面在P的沿方向（d）的法截面
    • 法截线
      • 法截面和曲面的交线称为曲面在P点沿方向（d）的法截线
    • 法曲率
      • 几何意义
        • 曲面上一点在一方向（d）上的弯曲程度
      • 公式
  • 迪潘指标线
    • 曲面上的点的分类
      • • 椭圆点
      • • 双曲点
      • • 抛物点
      • • 平点
  • 曲面的渐近方向和共轭方向
    • 渐近方向
      • P为双曲点，则迪潘指标线有一对渐近线
      • 沿渐近线的方向（d）称为曲面在P点的渐近方向
      • 等价定义
        • 曲面上的一点P处，使kn=0的方向，称为曲面在P点的渐近方向
    • 渐近曲线
      • 对于曲面上的曲线，如果它上面每一点的切方向都是渐近方向，则称为渐近曲线
      • 方程
    • 渐近网
      • 如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲面山的渐近网
    • 命题1
      • 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线
    • 命题2
      • 曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的密切平面
    • 命题3
      • 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 L=N=0
    • 共轭方向
      • 设曲面上P点处的两个方向为（d）=du：dv和（d）=du：dv,如果包含这两个方向的直线是P点的迪潘指标线的共轭直径，则方向（d）和（d）称为曲面的共轭方向
      • 方向（d）和（d）共轭的充要条件
    • 共轭网
      • 定义
        • 给出曲面上的两族曲线，如果过曲面上每一点，此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向，则这两族曲线称为曲面上的共轭网
      • 方程
    • 命题4
      • 曲面的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是 M=0
  • 曲面的主方向和曲率线
    • 主方向
      • 定义
        • 如果曲面上一点P的两个方向既正交又共轭，则称之为曲面在P点的主方向
      • 方程
    • 主方向的判别定理（罗德里格斯定理）
      • 如果方向（d）是主方向，则
    • 曲率线
      • 定义
        • 对于曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称为曲率线
      • 方程
        • • 该方程确定了曲面上两族曲率线，它们组成曲面上的曲率线网
    • 命题5
      • 曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是 F=M=0
  • 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率
    • 主曲率
      • 定义
        • 曲面上一点处主方向上的法曲率kn，称为曲面在此点的主曲率
      • 计算公式
    • 欧拉公式
    • 命题6
      • 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值
    • 高斯曲率
    • 平均曲率
  • 曲面在一点的邻近结构
    • 椭圆点
    • 双曲点
    • 抛物点
• 4. 直纹面和可展曲面
  • 直纹面
    • 导线
      • 定义
        • 若曲线C和所有直母线香蕉，则称为直纹面的导线
      • 方程
    • 直纹面
      • 定义
        • 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面
      • 方程
    • 命题1
      • 直纹面上高斯曲率
    • 命题2
      • 直纹面的直母线一定是渐近曲线
  • 可展曲面
    • 可展曲面
      • 定义
        • 可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面
    • 命题1
      • 每一个可展曲面或是柱面、或是锥面，或是一条曲线的切线曲面
    • 单参数曲面族
      • 方程
    • 包络
      • 定义
      • 方程
    • 命题2
      • 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络
    • 命题3
      • 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率恒等于0
    • 命题4
      • 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿茨曲线的曲面的法线组成一可展曲面
    • 命题5
      • 可展曲面可以与平面成等距对应