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这是一个关于数学的思维导图，包括集合与充要条件，不等式，函数，指数函数与对数函数，对数，平面向量的内容的梳理。
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数学
集合与充要条件
集合的概念
将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合， 简称为集。做成集合的对象叫做这个集合的元素
集合的表示
自然数集——N
正整数集——N⁺
整数集——Z
有理数集——Q
实数集——R
空集——∅
集合的关系符号
属于——∈
不属于——∉
子集
包含/不包含——⊆/⊇
求子集公式“2ⁿ”(ⁿ代表元素)
真子集
包含于/真包含于——⫋/⫌
求真子集公式“2ⁿ-1”
集合的运算
交集∩(两个及以上的集合相同的留下不相同的去除的集合)
并集∪(两个及以上的集合合并起来删除重复的集合)
补集Cu(除补集＝以外的集合)
充要条件
前推后充分条件
后推前必要条件
前后互推充要条件
不等式
比较实数的大小方法
对于有两个任意的实数a和b，有 a-b＞0⇔a＞b a-b=0⇔a=b a-b＜0⇔a＜b
不等式的基本性质
①不等式两边加(或减)同一个数，不等号的方向不变； ②不等是两边同时乘或除以一个正数不等号的方向不变； ③不懂吃的两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变。
区间
一元二次不等式
一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 求解公式 x=-b±√b²-4ac/2a Δ=b²-4ac 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根。
含绝对值的不等式
x，x＞0， 其几何意义是:数轴上表示实数x的点到原点的距离。 ｜x｜= 0，x=0， -x，x＜0。
不等式｜ax+b｜＜c或｜ax+b｜＞c
函数
函数的概念
对应法则是函数定义的两个要素，他们一旦 确认函数的值域也就随之确定了。定义域与 对应法则都相同的函数是同一个函数，而与 表示函数所选用的字母无关。
y=1/x(x≠0) y=√x(x≥0)
函数的表示法
图像法 描点法
函数的单调性
y=kx+b一次函数(k＞0，增函数；k＜0 ，减函数)
y=ax²+bx+c=0二次函数，对称轴x=-b/2a
x₁＜x₂， f(x₁)＜f(x₂)，增函数
x₁＜x₂，f(x₁)＞f(x₂)，减函数
y=k/x，定义域(-∞，0)U(0，+∞)，k＞0减函数，k＜0增函数。
函数的奇偶性
f(x)=f(-x)，偶函数
f(-x)=-f(x)，奇函数
既≠f(-x)也≠-f(x)，非奇非偶函数
实数指数幂及运算法则
aᵖ*aᶞ=aᵖ⁺ᶞ
(aᵖ)ᶞ=aᵖ*ᶞ
(ab)ᵖ=aᵖ*bᵖ
指数函数与对数函数
实数指数幂
分数指数幂
例aⁿ=a*a*a*a……*a，
a⁰=1
a⁻ⁿ=1/aⁿ
例2¹/3=³√2¹
aᵐ/ⁿ=ⁿ√aᵐ
a⁻ᵐ/ⁿ=1/ⁿ√aᵐ
指数函数(y=aˣ)的图像与性质
y=1*aˣ，定义域:R，值域:(0，+∞) 定点过点(0，1)，即x=0时y=1。
当0＜a＜1时，a越小，y=aˣ越靠近坐标轴 当a＞1时，a越大，y=aˣ越靠近坐标轴
对数
对数的概念
如果aᵇ=N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数， 记作b=logₐN
形如aᵇ=N的式子叫做指数式， 形如logₓN=b的式子叫做对数式。
性质
logₐ1=0
logₐa=1
N＞0，即零和负数没有对数
对数知识点
常用对数:以10为底的对数㏒₁₀N⇔lgN
自然对数:以e为底的对数㏒ₑN⇔lnN
负数和零没有对数即N＞0
1的对数是0:㏒ₐ1=0
底数的对数是1:㏒ₐa=1
对数的恒等式:a㏒ₐN=N
㏒ₐb=logₑb/logₑa(c≠1，c＞0)
倒数:㏒ₐo=logₒo/logₒa=1/logₒa
logₐⁿbᵐ=m/n㏒ₐb
logₐbⁿ=n㏒ₐb
数列
数列的定义：由于从数列的第一项开始，各项的色数依次与正数相对应，所以无需无穷数列的一般形式可以写作。a₁，a₂，a₃，…，aₑ，…(e∈N*)
数列的通项公式aₓ=x(x∈N*) 例5，10，15，20… 观察发现每一项都恰好是奇象的五倍， 故列数列一个通项公式为 aₓ=5x
等差数列的定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示。 由定义知，若数列{aₓ}为等差数列，d为公差，则aₓ₊₁-aₓ=d
等差数列的通项公式aₓ=a₁+(x-1)d 等差数列的性质：An-Am=(n-m)d
等差数列的前n项和公式
求和公式：S=n(a₁+an)/2
通项公式：Sn=n✖️a₁+[n(n-1)/2]✖️d
平面向量
只有大小，没有方向的量叫做数量
既有大小又有方向的量叫做向量
向量的大小叫做向量的模。向量AB→记作｜AB→｜
模为零的向量叫做零向量，记作0零向量的方向是不确定的(任意的)。
模为1的向量叫做单位向量。
向量的模就叫做向量的长度
方向相同或相反的两个向量叫做相相平行的向量(零向量与任意和一个向量平行)
互相平行的向量又叫做共线向量。
向量的运算
向量的加法
向量的减法
向量的数乘运算
｜λa｜=｜λ｜✖️｜a｜
a∥b⇔a=λb， 对于非零向量a、b，当λ≠0 0a=0，λ0=0
向量数乘运算法则
(1)1a=a；(-1)a=-a
(2)(λμ)a=λ(μa)=μ(λa)
(3)(λ+μ)a=λa+μa
(4)λ(a+b)=λa+μb
平面向量的坐标示
起始点为A(x₁，y₁)，终点为B(x₂，y₂)的向量坐标为 ｜AB→｜=(x₂-x₁，y₂-y₁)。 口诀：错位相乘后相减等于0证明平行。
向量线性运算的坐标表示
共线向量的坐标表示
a∥b⇔a=λb
a∥b⇔x₁✖️y₂-x₂✖️y₁=0
平面向量的内积
a·b=｜a｜·｜b｜cos‹a，b›
cos‹a，b›=a·b/｜a｜｜b｜
当‹a，b›=0°时，a·b=｜a｜｜b｜， 当‹a，b›=180°时，a·b=-｜a｜｜b｜
内积的坐标表示
坐标乘积的和：a·b=x₁x₂+y₁y₂
向量的模：｜a｜=√x²+y²
平面向量的内积：cos〈a·b〉=a·b/｜a｜｜b｜=x₁x₂+y₁y₂/√x²₁+y²₁ · √x²₂+y²₂
a⊥b⇔x₁x₂+y₁y₂=0
直线和圆的方程
两点间的离：｜P₁P₂｜=｜P₁P₂→｜=√p₁p₂→·p₁p₂→=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² 一般地，设点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)为平面内任意两点，则线段P₁P₂ 中点P₀(x₀，y₀)的坐标求 x₀=x₁+x₂/2，y₀=y₁+y₂/2。
直线的方程
直线的倾斜角与斜率
k=tan α
tan α=y₂-y₁/x₂-x₁(x₁≠x₂)
直线的斜式方程与斜结式方程
斜率公式：k=y-y₀/x-x₀，即点斜式方程：y-y₀=k(x-x₀)
斜截式方程：y=kx+b
直线的一般式方程
Ax+By+C=0(A、B不全为零)
两条直线的位置关系
相交：k₁≠k₂
k₁=k₂
平行：b₁≠b₂
重合：b₁=b₂
垂直：L₁⊥L₂⇔k₁·k₂=-1
点到直线的距离公式：d=｜Ax₀+By₀+C｜/√A²+B²
圆
圆的标准方程：√(x-a)²+(y-b)²=r，两边平方得 (x-a)²+(y-b)²=r² 当圆心的坐标为原点O(0，0)时，半径为r的圆的标准方程为x²+y²=r²
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0 圆心(-D/2，-E/2)半径r=√D²+E²-4F/4
圆心C(a，b)到直线Ax+By+C的距离为 d=｜Aa+Bb+C｜/√A²+B²｜
袁征征做
