空间向量与立体几何章节思维导图

空间向量与立体几何知识点总结，包括空间向吸其运算、空间向基本定理、空间向量及其运算的坐标示、空间向量的应用等内容。

空间向量与立体几何

• 空间向量及其运算
  • 有关概念
    • 单位向量
    • 共线向量（平行向量）：平行或重合，同向或反向
    • 相反向量：平行或重合，模长相等，方向相反
    • 相等向量
    • 零向量
    • a向量在b向量上的投影向量=投影长度×b向量方向上的单位向量=∣a∣∙b∙cosɑ/∣b∣ 注意计算时，向量和数不能直接相乘
  • 线性运算
    • 加法、减法以及数乘运算和满足的运算律
    • 共线（平行）的充要条件：a∥b⇔存在实数ʎ，使a=ʎb
    • 共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线，a,b,p共线⇔存在唯一的有序实数对（x,y),使p=xa+yb
  • 数量积运算
    • 向量的夹角：通常0≤<a,b>≤Π
    • 数量积的定义：a∙b=∣a∣∙∣b∣∙cos<ɑ>,特别地，零向量与任意向量的数量积为0
    • 性质
    • 运算律
• 空间向量基本定理
  • 1. 三个向量a,b,c不共面，{a,b,c}叫做空间的一个基底
  • 2. 正交分解
  • 3. 基底的拆分思想
• 空间向量及其运算的坐标表示
  • 空间直角坐标系：单位正交基底（i,j,k),i,j,k都叫做坐标向量，3个平面将空间分成8个部分。【空间右手直角坐标系】
  • 坐标表示
    • 两点间的距离公式:√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]
    • 点的对称问题，已知点P(x,y,z)
      • 关于原点对称：（-x,-y,-z)
      • 关于坐标轴对称：关于谁对称谁不变，如关于x轴对称（x,-y,-z)
      • 关于Qxy平面对称，（x,y,-z) 关于Oyz平面对称，（-x,y,z) 关于Oxz平面对称。（x,-y,z)
    • a⊥b⇔a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0
    • ∣a∣=√(a∙a)=√(a₁²+b₁²+c₁²)
    • ……
• 空间向量的应用
  • 1. 研究直线、平面的位置关系
    • 点、直线和平面的向量表示
      • 点的位置向量：取一点O作为基点，任意一点P用OP表示，OP为点P的位置向量
      • 空间直线的向量表达式:直线l,点A、B在其上，任意一点O，点P在直线l上的充要条件为存在实数t,使OP=OA+tAB
      • 空间平面的向量表达式：空间平面ABC,任意一点O，点P位于平面ABC的充要条件为存在实数x,y,使OP=OA+xAB+yAC
    • 平行
      • 线线平行
      • 线面平行
      • 面面平行
    • 垂直
      • 线线垂直
      • 线面垂直
      • 面面垂直
  • 2. 研究距离夹角问题
    • 距离问题
      • 点到直线的距离：PQ=√（∣AP∣²-∣AQ∣²)=√[a²-(a∙u)²],u表示直线l的单位方向向量
      • 点到平面的距离：PQ=∣AP∙n∣/∣n∣,还可用等体积法，等面积法。 当直线在平面内，或与平面相交，d=0. 在平行的情况下，线面距和面面距均可转化为点面距
    • 夹角问题
      • 异面直线所成的角ɑ：若直线l₁和l₂的方向向量分别为u₁和u₂，则cosɑ=∣cos<u₁,u₂>∣
      • 直线与平面所成的角ɑ：若直线l的方向向量为u，平面的法向量为n,则sinɑ=∣cos<u,n>∣
      • 平面与平面的夹角:若两个平面的法向量分别为n₁和n₂,则cosɑ=∣cos<n₁,n₂>∣，ɑ≤90⁰
• 题型
  • 立体几何中的存在性问题（具有探索性，多用坐标）
  • 立体几何证明问题