直线和圆的方程复习思维导图

高中数学，直线和圆的方程，包括直线和圆的方程、直线的方程、线的倾斜角和斜率、位置关系、直线的方程、距离、圆的方程、题型内容。

复习

• 1. 直线和圆的方程
  • 直线的方程
    • 直线的倾斜角和斜率
      • 注意概念：x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α∈[0⁰，180⁰）
      • 关系：k=tanɑ,α≠90 ⁰
      • 两点连线的斜率：k=y₂−x₂/x₂−x₁,x₁≠x₂
    • 位置关系
      • 平行
        • 斜率存在时，k₁=k₂，b₁≠b₂,A₁B₂−B₁A₂=0,A₁C₂-A₂C₁≠0
      • 重合
        • 斜率存在时，k₁=k₂,b₁=b₂
      • 相交
        • 斜率存在时，k₁≠k₂
        • 特殊情形——垂直：斜率存在时，k₁k₂=-1，A₁A₂+B₁B₂=0
    • 直线的方程
      • 点斜式:=y-y₀=k(x-x₀){一旦假设点斜式，先讨论k不存在是否满足题意}
      • 斜截式:y=kx+b{应用前提是直线的斜率存在，适用于假设全未知直线}
      • 两点式：y-y₁/y₂-y₁=x-x₁/x₂-x₁,x₁≠x₂,y₁≠y₂
      • 截距式：x/a+y/b=1,(a≠0,b≠0){常常需要分类讨论}{a=b时需要考虑是否过原点}
      • 一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0），即A²+B²≠0
      • 横截式：x=my+n{适用于含参直线过定点的前提下方便计算}
      • 直线系方程
        • 经过两条直线交点：A₁x+B₁y+C₁+ʎ(A₂x+B₂y+C₂)=0{不能表示直线l₂}
        • 与Ax+By+C=0平行：Ax+By+ʎ=0(ʎ≠C)（A、B不同时为0）
        • 与Ax+By+C=0垂直：Bx-Ay+ʎ=0(A、B不同时为0）
    • 距离
      • 两条直线的交点坐标：解方程组
      • 两点间的距离：∣P₁P₂∣=√[（x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]
      • 点到直线的距离：d=∣Ax₀+By₀+C∣/√（A²+B²）(A、B不同时为0）{点到直线的距离≠点到平面的距离）
      • 两条平行直线间的距离：∣C₁-C₂∣/√（A²+B²)∣(A、B不同时为0){也可转化为点到直线的距离，利用公式时注意x,y的系数对应相等}
  • 圆的方程
    • 方程
      • 标准方程：（x-a)²+(y-b)²=r²(r>0）{几何法(常用）和待定系数法（需要三个独立条件）}
      • 一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)，以（-D/2,-E/2)为圆心，1/2{√（D²+E²-4F)为半径}
      • 直径方程：（x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0
      • 参数方程（用于求最值）：（x-a）²+（y-b)²=r²,令x=a+rcosɑ,y=b+rsinɑ,ɑ∈[0,2Π]
      • 切线方程：(x-a)(x₀-a)+(y-b)(y₀-b)=r²,x₀x+y₀y=r²（特殊情况a=b=0)
      • 圆系方程
        • 与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0同圆心：x²+y²+Dx+Ey+ʎ=0
        • 过直线Ax+By+C=0与该圆有交点：x²+y²+Dx+Ey+F+ʎ(Ax+By+C)=0
        • 过两圆的交点：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+ʎ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(ʎ≠-1)
    • 位置关系
      • 点与圆
        • 点在圆外：∣PC∣>r
        • 点在圆上：∣PC∣=r
        • 点在圆内：∣PC∣<r
      • 直线与圆
        • 相交：d<r
        • 相切:d=r
          • 圆与x轴相切：∣b∣=r
          • 圆与y轴相切：∣a∣=r
          • 圆和x,y轴都相切：∣a∣=∣b∣=r
          • 切线长定理：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
        • 相离:d>r
      • 圆与圆
        • 相交：∣r₁-r₂∣<d<r₁+r₂{公共弦所在直线方程求法：将两圆的一般方程相减}
        • 相切
          • 外切：d=r₁+r₂
          • 内切：d=∣r₁-r₂∣
        • 相离
          • 外离：d>r₁+r₂
          • 内含：d<∣r₁-r₂∣
  • 题型
    • 巧解切线&切点弦问题
      • 识别标志:点（x₀,y₀)在圆上，求切线的直线方程，x₀x+y₀y+(D/2)x+（E/2）y+（D/2）x₀+（E/2）y₀+F=0
      • 点在圆外，求切点弦的直线方程：裂开，代入，留一代一
      • 同样适用于抛物线：y₀y=px+px₀
      • 适用于椭圆（双曲线)：x₀x/a²+y₀y/b²=1
    • 阿波罗尼斯圆（阿氏圆）：平面内与两定点距离的比为常数k（k≠0且k≠1的点的轨迹)是圆{常用于求圆的标方}
    • 切线长和弦长的最值问题，利用几何法转化
    • 弦长公式：∣AB∣=√[（x₁-x₂)²+（y₁-y₂)²]=√(1+k²)∣x₁-x₂∣=√(1+1/k²)∙∣y₁-y₂∣
    • 其他最值问题:已知（x-a)²+(y-b)²=r²,求①y/x②y-m/x-n③x²+y²等式子的最值，常用几何法求解
    • 未完待续……