椭圆

这是一篇关于椭圆的思维导图，包括：定义、焦半径、焦点三角、焦点弦、中位线、平行四边形轨迹。

椭圆

• 定义
  • 第一定义：PF1+PF2=2a
  • 第二定义：到焦点距离/到准线（a²/c）距离=e
  • 第三定义：过原点的直线与椭圆有两个交点，椭圆上任意一点与这两点连线斜率之积=-b²/a²=e²-1(只要有过原点的一条直线，就想第三定义）
• 焦半径
  • 倾斜角式：p/1-ecosα（长的PF1），p/1+ecosα（短的P'F1）
  • 坐标式：a+ex0，a-ex0
  • 倾斜角式倒数之和：2a/b²（2/p）
  • 出现一条焦半径，两条都连上
• 焦点三角形
  • 面积：S=b²tan（α/2）
  • 内切圆
    • 圆心为角平分线交点
      • 联想角平分线定理
    • 圆心与各边垂直
    • 等面积法
    • ▲PF1F2 O为圆心 PO延长交F1F2于点A PO/OA=1/e
    • 切线长相等
• 焦点弦
  • 通径
  • 焦点弦与和它垂直的焦点弦（分母上cos²α变为sin²α）AB=2p/1-e²cos²α，CD=2p/1-e²sin²α
  • 焦点弦与和它垂直的焦点弦倒数之和为定值=2-e²/2p
  • 焦点弦的中垂线与x轴交点G与F（GF），GF/AB=e/2, AB为焦点弦
  • 有长度之比往往用向量：λ
• 中位线
  • 出现中点，O也一定是中点
• 平行四边形
  • A,B F1F2都关于原点对称，对角线相互平分
  • 菱形：对角线垂直且平分，三线合一（向量点积=0，k·k=-1，勾股定理)
• 轨迹
  • 根据定义，找关系
  • 抠点：有的点取不到
• 没有无缘无故的第一问
• 对称
  • 中点在对称线上+垂直（k·k=-1)
• 硬解定理
  • 已知一点，用韦达定理求另一点坐标
• 点差法
  • 只要出现中点，就用点差
  • 设两点坐标，带入椭圆方程再相减整理
  • 一条直线交椭圆于AB,AB中点为M，kOM·kAB=-b²/a²=e²-1
  • kAB=-b²/a²=e²-1
  • 求范围：中点在圆锥曲线内部，带入点<1
• 中点弦
  • 点差法
• 主题
  • 过P作两条直线，与椭圆交于A,B两点，k1，k2（斜率的乘积或加和为定值，隐含定值定点
    • k1+k2=定值≠0，AB过定点
    • k1+k2=0,kAB为定值
    • k1·k2=定值≠b²/a²，AB过定点
    • k1·k2=b²/a²，kAB为定值
• 找最值方法
  • 求导
  • 均值不等式
  • 几次比几次
  • 换元
  • 十字相乘
    • 一般，十字相乘有一个根都是那个已知的点，把已知的代进去再求另外一个
• 面积
  • 对角线垂直的四边形
    • S=|AB||CD|/2
  • 对角线不互相垂直，但有夹角
    • S=|AB||CD|sinα/2（α是对角线的锐角夹角）
  • 三角形
    • 正设：y=kx+m,S△OAB=(|m||x1-x2|）/2 =（|m|根号下△/A²)/2
    • 反设：x=ty+m,S△OAB=（|m||y1-y2|)/2 = （|m|根号下△/A²）/2 ，注意两次的△不一样！！！
    • 普通三角形：S=底·高/2
    • 底边为与x轴垂直的：S=|2y1||x1|/2，再把y1换掉
    • S=absinC/2
    • S=|x1y2-x2y1|/2 (需要证明）
• 四点共圆
  • 过任何一个点，做两条直线，与圆锥曲线交在四个点上，这四个点共圆的充要条件：k1+k2=0(k1=-k2，k1,k2为相反数）
• 三角形
  • 等腰三角形：三线合一
  • 三线合一考点：垂直（向量点积=0，k·k==-1，勾股定理）
• 正交半径
  • 正交半径从原点做两条垂直的线
    • 1/OA²+1/OB²=1/a²+1/b²（A,B是两个交点
    • O到AB距离：y=kx+m，d=|m|/根号下k²+1
• 各种心
  • 垂心：两条高的焦点
  • 重心坐标公式：三点相加/3
• 弦长公式
  • 正设：根号下（1+k²）△/A²，A是联立方程后x²的系数
  • 反设：根号下（1+t²）△/A²，注意两次的△不同！！！
  • 本质：弦长公式
• 光学性质
  • 用到了角平分线性定理
  • 从焦点射出的线经过内切面反射后均过另外一个焦点
• 切线
  • kOM·k切=-b²/a²=e²-1（可以认为A,B,M重合，极限法）
  • 设M(x0,y0)写出过M的切线（把椭圆的一个x改成x0，一个y改成y0)，与kOM=y0/x0联立得到