函数

函数（function），数学术语。其定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中...

函数

• 抽象函数(核心：赋值）
  • 求单调性
    • 转化成f(x2)-f(x1）的形式，再根据题目条件判断其与0的关系（作差）
    • 转化成f(x2)/f(x1)的形式，再根据题目条件判断其与1的关系（作商）
  • 求奇偶性 转化成f(x)与f(-x)的关系式
    • 奇函数：f(x)+f(-x)=0或f(-x)=-f(x)
    • 偶函数：f(x)-f(-x)=0或f(-x)=f(x)
  • 解不等式或求实数根 往单调性和奇偶性上面想
  • 定义域 形如f(x)，"( )"里面的范围（整体）始终不变，变的只是x（定义域）
  • 求解析式
    • 赋值法
    • 将所要求的范围的定义域将某式子转化到已知定义域（有函数解析式）中，从而求得其函数解析式（具体可参照2023.01.08c）
• 复合函数（核心：换元）
  • 求单调区间或已知单调性求未知数 遵循”同增异减“原则（可用图像证明）
  • 解不等式
    • 形如f(3x-2)＞f(2x+1)的形式：①判断函数单调性；②判断有无奇偶性；③解不等式
    • 形如f(g(x))＞f(x-1)的形式；①将g(x)设为t，注意新元的取值范围；②判断外层函数单调性；③解不等式
    • 恒成立是指对于一个方程或命题所有可能值都成立，有解或存在是指对于一个方程或命题至少有一个值成立（具体可参考2022.12.15a）
  • 零点问题（具体参照2022.12.13a)
    • 选择题可带选项边缘值验证
    • 常规做法：①换元；②解出新元的范围或值；③用题目所给条件（换元后）的式子，联立f(x）=t（若是5个零点，则x有五个对应的值，即有5个解），得出f(x)的范围或值；④根据题目问的问题求解
• 初等函数
  • 指数函数
    • 求值域
      • 一次：根据单调性或图像
      • 二次：换元（注意新元范围)
    • 求定点 本质：指数函数过顶点（0，1）
  • 对数函数
    • 小性质
      • 形如/lgx/，x1·x2=1（具体参考20）22.11.23b
      • 当两个对数函数真数相等时
        • 真数＞1，函数值大的底数反而小
        • 0＜真数＜1，函数值大的底数也大
  • 指数与对数函数
    • 比大小
      • 方法一：与特殊值（媒介）比较，如-1，0，1，2等
      • 方法二：构造函数（有时需根据选项变换成相同的形式），根据图像求解（具体参考2021.01.10g）
      • 方法三：泰勒公式
    • 互为反函数（具体参考2023.01.11f.g）
    • 运算
      • 一指数和一常数：指数化对数，两边同时取对数（具体参考2022.12.06b）
• 其他函数
  • 折线函数（一次) （建议参照2023.01.11h）
    • "+"锅的问题 形如y=Ix+aI+Ix-aI
    • "-"破锅的问题 形如y=Ix+aI-Ix-aI