一次函数

杨神的大招课总结，一次函数是数学中非常基础且重要的一类函数，它的形式通常为 y=kx+b，其中 k 和 b 是常数，且 k=0。这里，x 是自变量，y 是因变量。需要自取，也可用于预习、复习（准高一生总结，有瑕疵请多包涵，欢迎交流讨论）。

一次函数

• 定义
  • 函数
    • 定义：对于每个自变量x，有且只有唯一的y与x对应
    • eg.
      • y=|x|是函数，|y|=x不是函数
  • 一次函数
    • y=kx+b(k≠0）
      • 区别：直线与一次函数
• 图像性质
  • k值
    • 决定图像
      • k＞0®y随x增大而增大
      • k＜0®y随x增大而减小
    • 比较k值大小
      • 垂线大法：y轴右侧作x轴垂线，交点在上面的k值大
  • b值
    • 与x轴交点（0，b）【b为截距】
      • b＝0®正比例函数
• 三大变换
  • k值与图像
    • k＝(y2-y1)/(x2-x1)＝tana(a为图像与x轴夹角）
    • α＝
      • 30°®k＝±根号三/3
      • 45°®k＝±1
      • 60°®k＝±根号三
      • 15°®k＝±（3-根号三）
    • 平行
      • k1＝k2且b1≠b2
  • 三大变换
    • 平移
      • 左加右减自变量，上加下减常数项
    • 对称
      • 对谁谁不变，原点全变脸
    • 旋转
      • 90°®k1k2＝-1
      • 45°®构造等腰直角三角形
      • 夹角公式：tana＝|k1-k2|/|1+k1k2|【即差角公式】
  • 点（a,b）
    • 关于y＝x对称
      • （b,a)
    • 关于y＝-x对称
      • （-b,-a)
• 面积与最值
  • 面积求法
    • 割补法，差不变，算两次
    • 水平宽，铅垂高
    • 等底等高相似
    • 坐标系：交叉相乘差一半
  • 已知面积求点
    • 分类讨论
• 几何存在性
  • 三角形存在性
    • 直角三角形
      • 两圆一线
        • 圆的方程：（x-a)²+（y-b)²=r²
        • k1k2=-1
    • 等腰三角形
      • 两圆一中垂
        • 去掉重合点，三点共线
          • α=45°®7个
          • α=60°/30°®6个
    • 等腰直角三角形
      • 构造三垂直
  • 四边形存在性
    • 平行四边形：对角坐标和相等（三种，去掉共线、重合）
    • 菱形：等腰+平行四边形
    • 矩形：直角+平行四边形
    • 正方形：等腰直角三角形（6个）
• 易错题型
  • 不过第几象限：包括b=0
  • 直线：k可以=0®分类讨论
  • 三条直线无法围成三角形,且k1≠k2，k3未知
    • ①l1∥l3
    • ②l2∥l3
    • ③l1,l2,l3过同一点
    • 求k3
  • 绝对值函数
    • 数形结合