数学

数学知识笔记完整版分享！数学复习这一张思维导图就够了，内容覆盖第1章，函数、极限、连续，第2章倒数与微分，第3章微分中值定理与导数的应用。帮助大家快速掌握知识点。

第一章 函数 极限 连续

未定式的计算问题0^0

因式分解有理化

常见的等价无穷小

洛必达法则

泰勒展示

两个重要极限

因式分解

证明极限存在

单调有界原理

单调有界数列必收敛,一般先证有界（数学归纳法或观察法或放缩法)，后证单调性(1:观察法，如1/n 2:放缩法3:看An+1-An>0或者<0即可)

夹逼定理

如果数列(Xn）、(yn#、#zn)满足从某项起有yn≤xn≤zn,且lim yn=lim zn=A(当n→00时)，则lim xn=A(当n→→00时)，A也可以推广到~的情况

无穷小的阶数比较及确定极限中的参数题型

渐近线的计算

若limf(x)=A(x-→00)时，称y A是f(x)的水平渐近线了 水平

若limf(x)=00(x→Xo)时，称x=Xo是f(x)的垂直渐近线 垂直渐近线

limf(x)/x=k(+0)(X→→00)说明有斜率，其中有lim[f(x)-kx]=b(x→→00)，则称y=kx+b是f(x)的斜渐近线 斜渐近线

连续定义与间断点的分类

1:定义(本质性):设f(x)在Xo的某邻域内有定义，若limf(x)=f(Xo)x→Xo]则称f(x)在Xo点连续(连续的本质性定义常用于计算题，讨论题中)2:定义(渐变性):设f(x)在Xo的某邻域内有定义，若lim.Ay=0(4 x→→0，且Ay=f(Xo+/x)-f(Xo),则称(x)在Xo点也连续(常用于证明连续题目)结论:证明一点连续，则该点上必须有函数值且与左右极限相等

间断点

可去间断点

跳跃间断点

无穷间断点

震荡剪短点

闭区间上的连续函数的性质

最值性 :闭区间上的连续性函数必有最大最小值

子主题

有界性:闭区间上的连续函数必有界

1.设f(x)在[a,b]上连续，且fa)f(b)，,则对任意介于f(a)与f(b)之间的一点C至少存在一点SE(a,b),使得f（5)-C2.推论:设f ×)在[a,b]上续从而有最大最小值M和m，则对于任意m<C<M,至少存在一点5 E(a,b),使得f5)=C(其中可以以任何形式出现)界值性

第七章 微分方程

一阶微分方程

可分离变量微分方程

齐次微分方程

一阶线微分方程

可降阶的交阶微分

一次积分

不显含y型

不显含x型

二阶微分方程

线性微分方程的解为结论和性质

y"+py'+qy=0 二阶常系数齐次微分方程的通解 Y(x）

y"+py'+qy=0 二阶常系数非齐次微分方程的特解 Y（x）

f(x)=Pm(x)e入x

f(x)=e入x(pe(x)coswx+pn（x)sinx)考研

第六章 定积分的应用

半面圆形的面积

L由一般方程y=y(x）给出

L由参数方程给出

L由极坐标方程给出

旋转体的体积

常规情形

常规情形一

常规情形二(考研)

平面曲线的弧长

参数方程确定的曲线L

一般方程确定的曲线L

极坐标方程确定的曲线L

浮动主题

第五章 定积分

定积分的定义

几何背景与物理背景

定积分的性质

积分上限函数的各种题型

定积分的换元法与分部积分法

结论1

结论2

结论3

结论4

结论5

反常积分

无穷限反常积分

无界函数反常积分

第四章 不定积分

基本概念 基本积分公式

第一类 换元法（凑微分）

第二类 换元法（拆微分）

分部积分法

有理公式积分法（考研题）

第三章 微分中值定理与导数的应用（难点）

三个中值定理（关系，各种证明题）

罗尔定理:设f(x]满足(1]在(a,b)上连续(2]在(a,b]内可导(3]@f（a)=f(b),则至少存在一点ξ Ela,b），使得f'（ζ）=0

朗日中信定理：设f(]满足(1)在[a,b]上连续.(2)在(a,b]内可导，则呈少存在点ζ(a,bl,使得f(b)f（a）/b-a=f（ζ）

柯西中值定理：1设+(x).g|x/在|a,b]上连续(2)在[a,b]内可导(3)任息X∈(a,b),有g'(x)≠0.则至少存在一点5ζ∈(a,b）,使得f（b）·f（a）/g（b）=f'（ζ）/g'（ζ）

洛必达法则（必考）

当x→a（x→∞时），f（x）及g（x）均趋于0或趋于∞ 在x=a的某去心领域内f’（x）与g（x）均存在且g’（x）≠0 Lim f（x）=A （或为∞） 则lim f’（x）=lim f’（x）=A或∞ —— —— x→a g（x） x→a g’（x） g’（x）

泰勒中值定理（记公式，会计算求极限题）

如果函数f（x），在含有X0的某个开区间ab上具有直到（n+1）阶的导数，则对任一x∈（a b）.有

函数的单调性与极值与最值

第一充分条件

第二充分条件

凹凸性与拐点

含义

设FX在区间上连续，如果一上任意两点， X1 x2 恒有f（x1+x2/2）<f（x1）+f（x2/2）称f‘（x）在一上图形是凹函数 若f(X 1+X 2/2)> f(x1)+f(x2/2) 则f（x）在一上面是凸函数 拐点定义：在连续的前提下，凹凸区间的分界点

第二充分条件

第二章 导数与微分

导数含义

定义：设f（x）在X0点的某邻域内有定义，若f（x）在Xo点取得增量为△x时，相应地△y＝f（xo+△x）-f（xo),若lim△y╱△X)＝limf（xa＋△x）-f（Xa）/△x(△x→0)存在，则称fx)在Xo点可导，记作f'（Xa）,及f'（Xa＋△x）-f（Xa）/△x（△x→0）

导函数

f(x)的三种导数形式

高阶导数（莱布尼茨公式）

定义

一般的，函数y=f(x)的导数y‘=(x）再次求导叫做y=f(x)的二阶导数，由此类推，有y"y∧(4）....y∧(n)

莱布尼茨公式

分段函数求导函数问题（重要题型）

用定义求，当有分段函数的分段点时，一定要分左右极限来求，急求左导数F'（Xo）与右导数F'（Xa），0是否存在且相等，若存在且相等，证明在该点X0可导

复合函数求导，反函数求导

复合函数求导法则：设y=f(u),而u=g(x)且f(u]及g(×)都可导，则复合函数y=fg(]的导数为dy/dx=dy/du.du/dx或y'(x)=f(u).g'(x)

隐函数求导（对数求导）及参数方程求导法（重要题型）

方程以隐函数方程形式给出如x^2+y^2=1 ，x^ 3+sinxy=y^2等等，方法：等式两边对x求导，此时y应该看成x的函数，也要对其进行求导，即为y '

参数方程求导

微分定义

定义

微分定义：设函教f（x）在某个区间内有定义，x及x+△x均在该区间，f（x）在Xo处取得增量为△x时，相应地△y=f（Xo+△x)-f(xo)加果△y=A△x+0（△x）（微分的定义式）则称f（Xo）在Xo点可微、称线件主部A.△x为小在Xo点的微分

计算公式

df（x）=f'（x）dx

几何意义

微分的几何意义:F(Xo)=tanθ dy=f'(Xo).△x=tanθ·△x当x→0时,dy≈△y

会求微分