数理统计

数理统计的抽样分布有三大分布：卡方分布、t分布、F分布，看过这个我相信你肯定会有收获的。

数理统计

• 抽样分布
  • 三大分布
    • 卡方分布
      • 正态分布
      • 求密度函数
        • 趋于正态分布，不对称
      • 伽马分布
        • α=n/2，λ=1/2
      • 卡方二是指数分布
        • 参数是1/2
      • 特征函数的求法
        • 均值n
        • 方差2n
      • 具有可加性
    • t分布
      • 求密度函数
        • 利用反函数
        • 对称形。趋于标准正态分布，利用大数定律
      • 正态分布和卡方分布
      • r阶原点矩的性质
      • n=1，柯西分布
    • F分布
      • 卡方分布
      • 密度函数
        • 利用反函数
      • Z与1/Z的关系
      • r阶原点矩
      • 均值和方差
      • 上分位数α和1-α的关系
  • 正态总体的均值和方差
    • 可加性
      • 线性组合
    • 做正交变化
      • 不改变相互独立的性质
      • 用于构造性证明中
    • 均值和方差的分布
  • 重要推论
    • 标准化产生分布
    • 均值除掉方差
      • tn-1分布
    • 两正态总体均值差
    • 两正态总体方差的商
    • 2λX1服从卡方2
  • 次序统计量的分布
    • 单个次序统计量的分布
      • 二项分布，恒等式
    • X（1），X（n）的联合分布
    • 极差的分布
      • 特别的，均匀分布情形
  • 统计量的极限分布
    • 大样本分布
      • 区分大样本和小样本的区别
    • 核心：大数定律，中心极限定理
      • 大数定律：辛钦大数定律，平均值按p收敛到均值
      • 中心极限定理：独立随机变量的和标准化之后按L收敛到标准正态分布
  • 指数族
    • 性质：具有共同的支撑集，且与参数无关
      • 判断：与θ有关就不是指数族
    • 例子：伽马分布，二项分布，泊松分布
      • 均匀分布和双参数指数分布不是
    • 形式上的写成自然形式，具有自然参数空间
      • 自然形式下，自然参数空间为凸集，他们的线性组合仍在其中
      • 可判别充分统计量
      • 自然参数空间有内点就是完备统计量
  • 充分统计量
    • 可以不失去信息的条件下反映样本信息
    • 按定义证明，条件概率与参数无关
    • 判别准则：因子分解定理
      • 从而，指数族中的分布都可以由因子分解定理找到充分统计量
  • 完备统计量
    • 按定义：由均值为0定义函数φ（x），满足φ（x）几乎处处为0
    • 自然形式下，自然参数空间有内点，则为完备统计量
• 绪论
  • 任务和性质
    • 由结果推原因
    • 解决的问题
      • 随机变量的分布未知
      • 随机性
  • 基本概念
    • 总体
      • 研究对象的全体
    • 样本
      • 样本空间
        • 样本X可能取值的全体
      • 两重性
        • 随机变量
        • 具体的数
      • 简单随机样本
        • i.i.d.
    • 统计推断
      • 参数空间
      • 参数统计推断
      • 非参数统计推断
    • 统计量
      • 不能和未知参数有关
    • 经验分布函数
      • 单调，不降，左连续
      • 二项分布