第六章定积分及其应用

第六章定积分及其应用的思维导图，内容有：定积分的概念、定积分的性质、微积分的基本公式、定积分的换元法、定积分的部分积分法、反常函数、定积分的几何应用，一起来看吧。

第六章定积分及其应用

• 定积分的概念
  • 定积分的关键因素
    • 被基函数或被基函数表达式
    • 积分区间
  • 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积
  • 设f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点则f(x)在区间[a,b]上可积
  • 面积表示定积分
    • 分割
    • 近似
    • 求和
    • 求极限得到的准确值
    • 元素法
• 定积分的性质
  • 性质一：函数的和（差）的定积分等于他们定积分的和（差）即
  • 性质二：被基函数的常数因子可以提到积分号外即
  • 性质三：如果将积分区间分为两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个部分上的的定积分之和即设a<c<b则，
  • 性质四：如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则
  • 性质五：如果在区间[a,b]上f(x)≥0则，
  • 性质六：设M,m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则
  • 中值定理：如果f(x)在[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ɛ使下式成立
  • 推论
    • 如果在区间(a,b)上，f(x)≥g(x),则
    • 如果在区间(a,b)上，f(x)≥g(x),则
• 微积分的基本公式
  • 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续则积分上限的函数
  • 在[a,b]上可导并且他的导数是
  • 定理1
  • 如果函数f(x)在[a,b]上连续则函数
    • 定理二
  • 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的原函数则
    • 定理三【牛顿-莱布尼兹公式】|【微积分基本公式】
• 定积分的换元法
  • 定理：【公式1】设f(x)在[a,b]上连续函数x=ɸ（t)满足
    • ɸ（ɑ）=a ɸ（ʙ）=b
    • ɸ（t）在[ɑ,ʙ],或[ʙɑ]上具有连续导数且值域为[a,b]则有
  • 换元公式对a>b也适用【凑微分上下限不变】
  • 一般的采用【公式1】后积分的变量,被积函数,积分区间都会改变显然积分变量认可采用原变量即
    • 有两种特殊情况可以被我们用来特殊的计算或证明
      • 被积函数不变，积分区间改变
      • 被积函数不变，积分区间改变
• 定积分的部分积分法
  • 设函数u=u(x)与v=v(x)在[a,b]上有连续导数,则⁤⁤(uv)′=vu′+uv′,⁤⁤即等式两端取x由a到b的积分，即得或写为
• 反常函数
  • 无穷限的反常函数积分
    • 设函数f(x)在[a,+∞)上连续,如果
      • 存在，就称此极限为f(x)在区间[a，+∞)上的反常积分，记作
        • 这时也称反常积分∫a+∞f(x)dx收敛.如果上述极限不存在，就称反常积分∫a+∞f(x)dx发散
        • 类似地,设函数f(x)在(-∞,b]上连续,如果
          • 这时也称反常积分∫−∞bf(x)dx收敛，如果上述极限不存在，就称反常积分∫−∞bf(x)dx发散.
        • 设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，如果反常积分
          • 都收敛，则称反常积分∫−∞+∞f(x)dx收敛.上述两个反常积分之和为f(x)在(-∞,+∞)上的反常积分,即
  • 无界的反常函数积分
    • 设函数f(x)在(a,b]上连续,且limx→a+f(x)=∞,如果极限存在，就称此极限为无界函数f(x)在区间(a，b]上的反常积分，记作
      • 这时也称反常积分∫abf(x)dx收敛，如果上述极限不存在，就称反常积分∫abf(x)dx发散.
    • 类似地,设函数f(x)在[a,b)上连续,且limx→b−f(x)=∞,如果极限存在，就定义反常积分
      • 否则称反常积分∫abf(x)dx发散.
    • 设函数f(x)在[a,b]上除x=c(a<c<b)外连续,且limx→cf(x)=∞,如果两个反常积分∫acf(x)dx和∫cbf(x)dx都收敛，就定义反常积分否则称反常积分∫abf(x)dx⁤⁤发散
• 定积分的几何应用
  • 找元素扫区间