圆

初中圆部分思维导图，静态定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 圆上各点到圆心的距离都等于半径（性质） 到圆心距离等于半径长的点都在圆上（判定）。

圆

• 定义
  • 静态定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 圆上各点到圆心的距离都等于半径（性质） 到圆心距离等于半径长的点都在圆上（判定）
  • 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 圆心是固定端点O，半径是OA
• 确定圆的要素
  • 圆心确定位置
  • 半径确定大小
• 其他要素
  • 半径：有无数条 注意⚠️：同圆或等圆的半径相等
  • 弦：连接圆上任意两点的线段 直径：经过圆心的弦（最长的弦） 圆心是直径的中点➡️中位线 直径是半径的2倍
  • 弧：圆上任意两点间的部分
    • 半圆：既不是优弧也不是劣弧
    • 优弧：大于半圆的弧，三个点表示
    • 劣弧：小于半圆的弧，两个点表示
    • 注意⚠️：长度相等的弧不一定是等弧
• 点P和圆O的关系
  • 点在圆上：OP=r
  • 点在圆内：OP<r
  • 点在圆外：OP>r
• 圆与三角形
  • 不在同一直线上的三个点确定一个圆
  • 外接圆：经过三角形的三个顶点
    • 外心：外接圆的圆心 到三角形各顶点距离相等 是三角形三条边垂直平分线的交点
      • 锐角三角形外心：内部 直角三角形外心：斜边中点 钝角三角形外心：外部
  • 内切圆：与三角形的各边都相切
    • 内心：内切圆的圆心 到三角形三边距离相等 是三角形三条角平分线的交点
      • 等边三角形内心外心重合，叫中心 （内切圆和外接圆是同心圆）
• 切线
  • 定义：直线和圆只有一个公共点，称直线和圆相切（性质 判定）
  • 距离：圆心到直线的距离等于半径
    • 判定：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
  • 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
  • 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
  • 切线长：经过圆外一点的切线，这点与切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长
    • 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
• 直线和圆的位置关系
  • 相切：只有一个公共点（d=r）
    • 这条直线：切线
    • 公共点：切点
  • 相离：没有公共点（d>r）
  • 相交：有两个公共点（d<r）
    • 这条直线：割线
    • 公共点：交点
• 四点共圆
  • 定义：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆，简称四点共圆
  • 判定1:若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆
  • 判定2:若一个四边形的一组对角互补（和为180度），则这个四边形的四个点共圆
  • 判定3:若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆
  • 判定4:若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆
  • 判定5:同斜边的直角三角形顶点共圆 （圆心为斜边中点）
• 圆周角定理
  • 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 一段弧所对的圆周角有无数个 一个圆周角所对的弧只有一条
  • 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ⚠️一条弧所对的圆周角等于它所对的弧的一半
  • 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等
  • 推论2:1⃣️半圆（或直径）所对的圆周角是直角 2⃣️90度的圆周角所对的弦是直径
  • 推论3:1⃣️圆内接四边形得对角互补 2⃣️圆内接四边形的一个外角等于它的内对角
    • 圆内接四边形：顶点都在圆 上的四边形（四点共圆）
  • 子主题
• 圆心角定理（圆具有旋转不变性）
  • 圆心角：顶点在圆心的角
  • 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等
  • 推论1:在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等
  • 推论2:在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等，所对弦的弦心距也相等
  • 知一推三
• 垂径定理（❗️本质：圆的轴对称性）
  • 内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所在的两条弧
    • 已知：1.过圆心 2.垂直于弦
    • 结论：1.平分弦 2.平分弦所对的优弧 3.平分弦所对的劣弧
    • 知二推三
  • 推论1:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
  • 推论2:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
• 轴对称
  • 圆是轴对称图形
  • 对称轴：过圆心的直线
  • 线段的对称轴：线段所在直线或线段的中垂线