数学思维导图

主要集中高中数学必修二第六章节，内容有 平面向量概念及线性运算、向量的数量积、向量的基本定理和坐标运算、平面向量的数量积运用、正弦定理、余弦定理、向量法研究三角形的性质，一起来学习。

高中数学必修二平面向量及其运用

• 平面向量概念及线性运算
  • 基本概念
    • 向量
      • 有大小、有方向的量
    • 表示
      • 几何:有向线段
      • 代数:向量AB或向量a
    • 大小
      • 单位向量：模长=1
      • 零向量：向量方向不确定或模长为零
    • 方向
      • 起点指向终点
  • 向量的关系
    • 相等向量：大小相等且方向相同的向量
    • 相反向量：大小相同且方向相反的向量
    • 共线/平行向量：方向相同或相反的非零向量
      • 规定：零向量与任何向量平行
  • 平面向量的线性运算
    • 加法
      • 三角形法则
        • 几何：首尾相连，最初起点指向最终终点
        • 代数：向量AB＋向量BC＝向量AC(消中间)
        • 多边性法则
      • 平行四边形法则：共起点，连对角
    • 减法
      • 三角形法则→共起点，后指前：向量OA－向量OB=向量BA
    • 数乘
      • 定义∶λ×向量a＝λ向量a
        • 结果是一个向量
      • 大小∶(λ×向量a)的模长＝λ×向量a的模长
      • 方向∶λ向量a与向量a平行
      • 运算律∶交换律，结合律，分配率
      • 向量共线条件∶向量a∥向量b→向量b＝λ向量a
• 向量的数量积
  • 定义
    • 夹角
      • 共起点，范围：0°－180°
    • 数量积/点积
      • 向量a·向量b＝向量a的模长×向量b的模长×cosθ
        • ①结果为实数 ②“·”不能省略
  • 几何意义：投影
    • 向量a在向量b上的投影向量的长度：向量a的模长×cosθ＝(向量a·向量b)÷向量b的模长
    • 向量a在向量b上的投影向量：(向量a的模长×cosθ)·(向量b÷向量b的模长)＝[(向量a·向量b)÷向量b的模长]·(向量b÷向量b的模长)
  • 运算律
    • 注：(向量a·向量b)·向量c≠向量a·(向量b·向量c)
    • 向量a·向量b＝向量a·向量b
    • (λ向量a)·向量b＝λ(向量a·向量b)＝向量a·(λ向量b)
    • (向量a＋向量b)·向量c＝向量a·向量c＋向量b·向量c
  • 数量积的基本运用
    • 求夹角：cosθ＝向量a·向量b÷(向量a的模长×向量b的模长)
    • 垂直：向量a⊥向量b→向量a·向量b＝0
    • 模：向量a·向量a＝向量a的平方＝向量a的模长的平方 (求模先平方，在开方)
• 向量的基本定理和坐标运算
  • 平面向量基本定理
    • 向量a＝λ₁×向量e₁＋λ₂向量e₂
      • ①向量e₁，向量e₂为基底且不共线②向量a有任意性③λ₁，λ₂有唯一性
  • 平面向量坐标运算
    • 向量OA＝向量a＝(x，y)
      • 方向∶原点指向坐标点 大小∶向量a的模长＝√(x²＋y²)
    • 向量的坐标运算
    • 向量坐标化∶终点坐标减起点坐标
    • 向量平行与垂直的条件 向量a＝(x₁，y₁)，向量b＝(x₂，y₂)
      • 平行∶交叉乘相等 垂直∶对应乘和为0
• 平面向量的数量积运用
  • 定义法/公式法 向量a·向量b＝向量a的模长×向量b的模长×cosθ
    • 基底法∶转化为已知模长夹角的基底
    • 投影法：向量AB·向量AC＝向量AB的模长×向量AC的模长×cosθ＝向量AB的模长×向量AD的模长
      • 向量AC的模长×cosθ＝向量AD的模长
  • 坐标法:向量a＝(x₁，y₁)，向量b＝(x₂，y₂) 向量a·向量b＝x₁·x₂＋y₁·y₂
    • 核心∶已知直角或特殊角
  • 极化恒等式
    • 核心:三角形两边数量积→共起点，找中点
    • 基底:向量AM，向量BC 向量AB＝向量AM＋向量MB 向量AC＝向量AM＋向量MC
    • 向量AB·向量AC ＝(向量AM＋向量MB)·(向量AM＋向量MC) ＝ (向量AM＋向量MB)·(向量AM－向量MB) ＝向量AM的模长的平方－向量MB的模长的平方
• 正弦定理
  • 正弦定理推导及运用
    • 推导:①AD=c·sinB=b·sinC→b/sinB=c/sinC →a/sinA=b/sinB=c/sinC ②sinA=a/2R→a/sinA=2R→a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
      • R为三角形外接圆半径
    • 适用条件:①两角一边 ②两边一对角求角:若求出sinα＞0→α有两个值 →取舍⑴内角和180º⑵大边对大角
  • 边角互换
    • a＝2R·sinA a∶b∶c=2R·sinA=2R·sinB=2R·sinC=sinA∶sinB∶sinC
      • 要点:齐次
  • 面积公式
    • S∆ABC=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC =2R²sinAsinBsinC =1/2(a＋b＋c)·r
• 余弦定理
  • 余弦定理公式
    • c²=a²＋b²－2abcosC b²=a²＋c²－2accosB a²=b²＋c²－2bccosA
  • 适用条件
    • 已知三边或三边关系求角
    • 已知三边一夹角求边
    • 已知两边一对角求边
  • 判断三角形形状
    • ①b²＋c²＞a²→cosA＞0→A为锐角≠锐角三角形 ②b²＋c²＝a²→cosA＝0→A为直角＝直角三角形 ③b²＋c²＜a²→cosA＜0→A为钝角＝钝角三角形
• 向量法研究三角形的性质
  • ∆ABC
  • O为重心:向量OA＋向量OB＋向量OC=0
  • O为垂心:向量OA·向量OB=向量OB·向量OC =向量OC·向量OA
  • O为内心:a向量OA＋b向量OB＋c向量OC＝0
  • O为外心:向量OA的模长=向量OB的模长＝向量OC的模长