导数零点问题

导数零点问题的思维导图，如 找点（区间端点处能取值），a判断函数在区间上零点个数，一起来学习吧。

零点

• 找点（区间端点处能取值）
  • a判断函数在区间上零点个数
    • 确定所有单调区间
      • 检查端点，特殊点
        • 是否存在端点内某子区间恒正或恒负
    • 排除恒正恒负区间，研究剩余区间上的单调性（通过导函数正负判断）
    • 若无法一次求导确定原函数单调区间，则对导函数求导，不断重复
    • 在每一个单调区间验证零点是否存在
  • 题型：已知含a函数在某一定义域上有零点，求a范围
    • 性质：每求一次导，零点个数最多减少一个
    • 先统一进行多次求导，将端点带入一阶二阶等导函数，求出临界点（导到不含参数a）
    • 根据临界点，对a进行分类讨论
    • 在不同的分类下从最多阶的导函数分析次多阶导函数
    • 回到a：通过确定一阶导函数正负和零点去求函数的最值和单调性去判断零点是否存在
• 找点（区间端点不能取值）
  • 直观判断（不能直接书写，需要找出具体点）
    • 广义零点存在定理
      • 即通过取极限判断端点处正负而已
  • 如何找点
    • 观察法
      • 取特殊点
    • 放缩法
      • 难度大 舍
    • 内点效应
      • 已知函数f，找出一个x0属于0到1，使得f（x0）大于0
        • 通过对定义域端点放入函数取极限知道大小
        • 将函数变形为比号两边 在不等式中间插入一个常数p
        • 这个p大小夹在比号两边的函数取端点极限时的大小
        • 明确大小后选出一个便于计算的数用于解不等式
        • 解后可得x0范围 再从x0中选一个数便于计算
      • 如何写过程
        • 将上述思路倒过来写就可以了
          • 取x0 算不等式 结果为f（x0）大于0就可以了
      • 注意点
        • 两侧不等式尽量变形为两个简单函数 利于解
        • 不等式两侧同除一个不确定负号的式子，有时候不必要讨论
          • 若同除（x-1）但所寻找的x接近正无穷，故可以先限定x大于1 放入后续不等式一起解
  • 题型：已知含a函数在R上有n个零点，求a范围
    • 先分两大类
      • x等于0
      • x不等于0
    • 区别在定义域上的类型题 此类题的a分类广不细 多以大于0小于0为分类
    • 正常求解 同于内点效应使用过程
  • 题型：已知函数，证明有且仅有n个零点
    • 求导确定各区间内单调性
    • 用广义零点存在定理确定单调区间内存在零点
    • 用内点效应找出特殊点 用于证明各个区间内是否存在零点