如何高效学习：高中函数基本概念

干货分享！一图带你轻松学习高中函数基本概念，以下思维导图给你清晰罗列出函数的概念与基本性质与表示，让学习思路明确，从而达到高效学习，轻轻松松拿下80分！

函数基本概念

函数与映射

函数相等

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等

分段函数

在函数定义域中，对应自变量不同的取值范围，有着不同的关系

复合函数

如果y是u的函数，记为y＝f（u），u 又是x的函数，记u＝g（x）

映射

AB两个非空数集，按某一确定关系f，A中任意一元素x，在B中有唯一确定元素与之对应

函数三要素

定义域

自变量x的取值范围

对应关系

y＝f（x）

值域

与x对应的y值

函数的表示

解析式法

列表法

图像法

函数图像做法与确定

子主题

(1)画函数图象常用描点法和变换法 描点法:一般步骤为列表、描点、连线 变换法: ①平移变换 ay=f(x)→y=f(x±a)(a>0) 将y=f(x)的图象沿x轴向左(向右)平移a个单 位长度 hy=f(x)→y=f(x)±b(b>0) 将y=f(x)的图象沿y轴向上(向下)平移b个单 位长度 ②伸缩变换 a. y=f( x)y =f()( >0) 将y=f(x)的图象的纵坐标不变,横坐标伸长(缩 短)到原来的一倍(0<a<1伸长,>1缩短) b. y=f(x)-y =Af()(>0) 将y=f(x)的图象的横坐标不变,纵坐标伸长(缩 短)到原来的A倍(A>1伸长,0<A<1缩短) ③对称变换 a.y=f(x)→y=f(-x) 将y=f(x)的图象绕y轴翻折180°(整体翻折) b.y=f(x)→y=-f(x) 将y=f(x)的图象绕x轴翻折180(整体翻折) .y=f(x)→y=f(lxl) 保留y=f(x)在y轴右侧的图象,并作其关于y轴 的对称图象(偶函数局部翻折) dy=f(x)→y=f(x) 保留y=f(x)在x轴上方的图象,并把x轴下方的

子主题

图象绕x轴翻折上去(局部翻折) 3.区间 的 e.y=f(x)→y=f-¹(x) 方法一:先画出y=f(x)的图象,再利用对称性画 出y=f(x)的图象 方法二:先由y=f(x)解析式求出y=f-1(x)的解析 式及其定义域,再直接作出y=f(x)的图象 (2)确定函数图象. 已知函数解析式,从所给图形中选出正确的函数 都图象,常从以下几个方面考虑: ①定义域.由解析式确定函数定义域,从所给图象 中排除定义域不正确的图象; ②奇偶性.根据函数奇偶性与其图象的对称性或 图象的翻折(如函数y=x与y=|x|的图象的关系) 判断; ③单调性.此类问题中,若函数单调性易得,可直 接利用单调性判断,否则,可利用特殊值法进行排除; ④周期性

函数的单调性

一般地,设函数f(x)的定义域为I (1)如果对于定义域内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)< f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 (2)如果对于定义域内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数, 那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间 【说明】(1)函数的单调性是函数的局部性质有 的函数在整个定义域上具有单调性,有的函数在定 义内的某个子集上具有单调性.如函数y=2x在 定义域(-∞,+∞)上是增函数;函数y=-2x2在 定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,但在(-∞, 0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. (2)单调性与“区间”紧密相关,一个函数在不 同的区间上可能有不同的单调性即使一个函数在 定义域的几个区间上都是增(减)函数,也不能说 它在定义域上是增(减)函数.如f(x)=1在 (-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数, 但不能说f(x)在(-∞,0)U(0,+∞)上是减函 数.因为当x1=-1,x2=1时,f(x1)=-1,f(x2)= 1f(x1)<f(x2),不满足减函数的定义 (3)有些函数不具有单调性,如常数函数y= 1,函数y=1,x为无理它们的定义域为R,但 10,x为有理数, 不具有单调性 (4)在书写函数的单调区间时,区间端点的开 或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处 有意义,则写成闭区间(也可以写成开区间);若函 数在区间端点处无意义,则必须写成开区间

判断函数的单调性

第一步:取值.在所给区间上任取两个自变量的值 x1,x2,且规定x1<x2 第二步:作差变形.作差f(x1)-f(x2),并通过因式 分解、配方、有理化等方法将其变形,使之有利于与0 的大小比较 第三步:定号.根据已知条件和前面的假设x1<x2 判断f(x1)-f(x2)与0的大小关系 第四步:判断.根据定义作出判断,得出结论

复合函数单调性

u=g(x）y=f(u) y=f (g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

最大值最小值

(1)最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为 如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; ②存在x∈l,使得f(x0)=M 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值 (2)最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为1 如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; ②存在x∈l,使得f(x)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值

函数奇偶性

奇偶性

(1)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数; 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= -f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 (2)如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说 f(x)具有奇偶性

判断奇偶性

利用定义判断函数f(x)的奇偶性的步骤: (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断f(x)的定义域是否关于坐标原点对称,若 不关于坐标原点对称,则该函数既不是奇函数也不是 偶函数.若关于坐标原点对称,则进行下一步; (3)结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的 解析式; (4)求f(-x); (5)根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数 f(x)的奇偶性

图像特征

(1)如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果 一个函数的图象关于坐标原点成中心对称,那么这个 函数是奇函数 (2)如果一个函数是偶函数,那么这个函数的图象 是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数 的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数 【说明】(1)由函数图象的对称性判断函数的奇 偶性也是常用的一种判断函数奇偶性的方法 (2)如果已知一个函数是奇函数或偶函数,那么 只要将它的定义域分成关于坐标原点对称的两部 分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出函 数在另一部分上的性质和图象

奇函数偶函数单调性

奇同偶异

周期性

子主题

对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数,使得 当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那 么函数y=f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个 函数的周期 对于周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在 一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最 小正周期 例如f(x+2)=f(x),2,4,6,…都是f(x)的周期,2 是f(x)的最小正周期 【说明】(1)周期性的概念比较抽象,理解函数 y=f(x)是周期函数的这一概念,应抓住三点: ①存在一个不等于零的常数T; ②对于定义域内的每一个x值,都有x+T属于 这个定义域; ③满足f(x+T)=f(x) (2)今后本书中所涉及的周期都是指函数的最 小正周期.不是所有的函数都有最小正周期,f(x)=0 就不存在最小正周期 (3)常见周期的表达形式 已知a>0且a为常数,若函数y=f(x)对定义 域内任一实数x满足: ①f(x)=f(x+a),则f(x)的周期T=a; ②f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期T=2a; ③f(x+a)= 1,则f(x)的周期T=2a; f(x) ④f(x+a)=f(x-a),则f(x)的周期T=2a

设AB是非空数集，按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应