控制工程基础 第二章思维导图

控制系统的数学模型， 如：什么是数学模型？它是描述系统特性，揭示变量间关系的数学表达式。

控制工程基础

• 控制系统的数学模型
  • 物理系统的动态描述-数学模型
    • 概念
      • 什么是数学模型
        • 描述系统特性，揭示变量间关系的数学表达式
      • 建模方法
        • 分析法
        • 实验法
    • 微分方程
      • eg：mx''+cx'+kx=f
      • 微分方程的增量化表示（了解）
    • • 传递函数
      • 频率特性
    • 一般步骤
      • ①分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定待研究系统的输入量和输出量。（将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量和输出量。）
      • ②根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，依次列写组成 系统各环节的运动方程式，组成联立方程组。
      • ③对联立方程组进行简化、线性化和增量化，并消去中间变量，得到只 包含系统输入量和输出量的方程式，即系统的输入-输出模型。
      • ④将该方程式化为标准形式：即将与输入量有关的各项放在方程的右边， 而与输出量有关的各项放在方程的左边，并将各导数项按降幂排列。
  • 数学模型实例
    • 机械系统
      • 基本物理定律
        • 质量元件m：f=m''
        • 弹性元件k：f=k(x2-x1)
        • 阻尼元件c：f=c(x2'-x1')
      • 特点
        • 研究力（或转矩）与位移（或角位移）的因果关系
        • 基本元件有：弹簧（或弹性轴）、阻尼器和运动部件
    • R-L-C串联电路
      • 基本物理定律
        • 电容C：i=C(u2'-u1')
        • 电感L：(u2-u1)=Ldi/dt
        • 电阻R：i=（u2-u1）/R
    • 恒定磁场他激直流电动机的数学模型
      • 电动机的内容
  • 非线性数学模型的线性化
    • 线性系统
      • 概念：系统的数学模型能用线性微分方程描述
      • 特性
        • 叠加性（叠加原理）
          • 系统在多个输入作用下，其总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和
      • 线性定常系统：eg:x0''+2x0'+2x0=2x1
      • 线性时变系统：eg:x0''+2x0'+2tx0=2x1
      • 非线性系统：不符合叠加定律
      • 非线性微分方程
    • 线性化
      • 非线性微分方程的线性化（了解）
        • 条件
          • 系统各变量偏离预订工作点的偏差一般很小
        • 方法
          • ①在预定工作点处有导数或偏导数存在
          • ②将系统的这一非线性函数以其自变量的偏差形式展开成Taylor级数
          • ③级数中偏差高次项忽略，只剩下一次项
      • 小偏差线性化方法(了解)
        • 只有在所研究的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性。
        • 通过小偏差线性化方法，通常得到的是经过简化、线性化、 增量化的微分方程，即使变量前省去了“Δ”，也应将变量 理解为增量。经过增量化以后，相当于把坐标原点移到平 衡工作点,这时各变量的初始条件为零。
        • 当系统有本质非线性特性时（非线性特性有间断点、转折点 和非单值关系），不能采用小偏差线性化方法。
  • 控制系统的复数域数学模型
    • 相似原理
      • 相似系统
        • 能用形式相同的数学模型来描述的物理系统为相似系统
      • 相似量
        • 在微分方程或传递函数中占相同位置的物理量为相似量
    • 拉普拉斯变换及其性质
      • 傅里叶变换
        • 将一个时间域的函数变换为频率域的函数
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      • 拉氏变换基本定理
        • 1.微分定理
        • 2.积分定理
      • 如何用拉氏变换求解数学模型
        • 1.方程两端同时进行拉氏变换
        • 2.利用拉氏的基本性质与运算法则求得C(s)
        • 3.进行部分分式分解,取拉氏反变换
        • 4.求出的c(t)叫系统的响应
    • 传递函数
      • 定义
        • 线性系统的传递函数，定义为在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 （只适用于线性元件或线性系统）
      • 性质
        • 与微分方程一一对应;
        • 传函只反映系统的动态性能（自身固有性质）与输入输出无关。 不反映物理组成，不同物理元件可能有相同传函；
        • 输入信号作用位置与输出信号的取出位置不同，传递函数不一样；
        • 传递函数只适用于线性元件与线性系统，只适用于单变量控 制系统（多变量不行）。如果是多个输入对一个输出也可以
      • 典型环节的传递函数
        • 1.比例环节（放大环节）
          • • 特点：输入量和输出量成正比；不失真，不延迟
        • 2. 惯性环节（非周期环节、惰性环节）
          • • 特点：输出的导数与输出之和正比于输入；阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值
        • 3.微分环节
          • 理想微分环节
            • 特点：输出正比于输入的变化率；一般不能单独存在；提前输出；增加阻尼；强化噪声
        • 4.积分环节
          • • 特点：输出正比于输入对时间的积分；输入量对时间的积累；输出滞后于输入；具有记忆功能
        • 5.振荡环节
          • • 特点：阻尼系数小于1大于0时输出震荡；阻尼系数大于1时输出无震荡；震荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件
        • 6.延时环节（时滞环节）
          • 延迟时间 t
            • 特点：输出滞后输入，但不失真；不同于惯性环节
      • 列写步骤
        • （1）时域下的微分方程
        • （2）拉氏变换（假设全部初始条件为0）
        • （3）输出输入之比
      • 性质特点
        • （1）分母反映与外界无关的固有特性，反映了系统的稳定性
        • （2）分子反映系统与外界的联系（分母阶次一般≥分子）
        • （3）传递函数反映了系统的传递能力。输入给定，输出完全取决于传递函数
  • 控制系统的方框图及其变换
    • 方框图及化简
      • 方框图的结构要素
        • 函数方框
        • 相加点
        • 分支点（引出线）
      • 系统方框图的建立
        • 建立系统的原始微分方程
        • 对原始微分方程进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换中的因果关系绘出相应的方框图
        • 按照系统流向，依此将各传递函数方框图连接起来，系统输入量置于左端，输出量置于右端
      • 串并联、反馈规则
        • 串联
          • 特点：前一环节的输出直接为下一环节的输入，无任何分支点和求和点。
        • 并联
          • 特点：输入信号相同，输出信号相加（相减）
        • 反馈
          • • 偏差信号
            • 前向通道
              • 信号输入指向信号输出点的通道
            • 反馈通道
            • 开环传递函数
            • 闭环传递函数
      • 环节等效规则
        • 分支点移动规则
          • 前移：分支路串入相同的传递函数方块
          • 后移：分支路串入相同的传递函数倒数的方块
          • 前正后倒
        • 相加点移动规则
          • 前移：分支路串入相同传递函数倒数的方块
          • 后移：分支路串入相同传递函数的方块
          • 前倒后正
        • 相加点交换规则
          • 中间不能有任何分支点和求和点
        • 注意事项
          • 不同类型的点不能直接交换
    • 梅逊公式
      • 前提条件
        • 1.整个方框图只有一个前向通道
        • 各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框
      • 表达式
      • 符号规定
        • 相加点处：对反馈信号为相加时取负号；对反馈信号为相减时取正号。
    • 考虑扰动的反馈控制的传递函数
      • 理论背景
        • 控制系统在工作过程中会受到两种输入作用
          • 有用输入，或称给定输入
          • 扰动，或称干扰
      • 干扰信号
        • 系统中除输出外，其他对输出产生影响的信号
      • 计算方法
        • 运用叠加原理，将扰动输入输出和正常输入输出分开计算，最后总输出是两输出的线性叠加。
  • 题型
    • 拉氏变换及其反变换
    • 拉氏变换法求解微分方程
    • 写出实际系统的微分方程，求传递函数
    • 写出系统的方块图，求传递函数
    • 化简方块图，求传递函数