控制工程基础 第五章思维导图

关于系统的稳定性分析-Routh判据、Nyquist判据、Bode判据，希望这份脑图会对你有所帮助。

控制工程基础

• 系统的稳定性
  • 系统稳定性的基本概念
  • 系统稳定的充要条件
    • 闭环传递函数的极点全部位于s平面的左半平面，或闭环极点全部具有负实部
  • 代数稳定性判据-劳斯（Routh）稳定判据 闭环特征方程
    • 必要条件-特征方程所有系数符号相同，且不为零
      • 稳定前提
    • 用闭环传递函数的分母表达式
      • 即闭环特征方程
      • 闭环传递函数才可以表现系统的全部特征，这些特征中就包含了稳定性
    • Routh表
      • 设系统的特征方程为：
      • 则系统的Routh表为：
      • Routh判据
        • 第1列所有元素符号相同
        • 第1列元素符号改变的次数，等于实部为正的特征根的个数
        • 系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。
    • 2种特殊情况
      • 第1列出现零元素
        • 系统必然为临界稳定或不稳定
        • 用任意小的整数ε代替零元素完成劳斯阵列
        • 若第一列的元素无符号改变
          • 系统有虚根，临界稳定
          • 系统正弦或余弦振荡
        • 若第一列仍有符号改变
          • 系统有正实部的根，不稳定
          • 系统发散
      • 全行元素为零
        • 利用前一行的元素作为系数，构造辅助方程A(s)=0。辅助方程中只会出现s的 偶次幂（必然），它的根是一部分特征根。
        • 将辅助方程对s求导，然后，用dA(s)/ds的系数替换元素全为零的行，继续构 造劳斯阵列。
  • 几何稳定性判据-Nyquist稳定性判据 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
    • Nyquist判据：
      • 当w由-∞到+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jw)H(jw)逆时针方向包围点(-1，j0)P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。
      • s按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即顺时针包围原点N次。
      • N=Z-P，Z为Ls内的F(s)的零点数， P为Ls内的F(s)的极点数。 即Z=N+P，当Z=0时系统稳定
    • 开环传递函数
    • F(s)的极点即为开环传递函数的极点 F(s)的零点即为闭环传递函数的极点
    • 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
      • 当s沿小半圆从w=0－变化到w=0＋，角从-Π/2变到Π/2时，[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从vΠ/2经0变到-vΠ/2。
    • 应用Nyqiust稳定性判据分析延时系统的稳定性
      • 延时环节不改变原系统的幅频特性，仅仅使原系统的相频特性发生变化。
  • Bode稳定性判据--几何判据，Nyquist判据的引申
    • • Nyquist图上的单位圆 → Bode图的0dB线，即对数幅频特性图的横轴； Nyquist图上的负实轴 → Bode图的-180°线，即对数相频特性图的横轴。
    • 穿 越：开环Nyquist轨迹在点(-1,j0)左侧穿过负实轴，即对数相频特性穿过-180°线 负穿越：随着w的增加，开环Nyquist轨迹自下而上（相位减小）穿过负实轴 （对应于Bode图，对数相频特性自上而下穿过-180°线） 正穿越：随着w的增加，开环Nyquist轨迹自上而下（相位增大）穿过负实轴 （对应于Bode图，对数相频特性自下而上穿过-180°线）
    • Bode判据：
      • 当w由0到+∞时，若开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180°线的正穿越与负穿越次数之差为P/2，则闭环系统稳定。
  • 控制系统的相对稳定性
    • 相位裕度：
      • 在w=wc时，GK(jω)的相频特性(wc）距-180°线的相位差值。
    • 幅值裕度：
      • 在w=wg时，GK(jω)的幅频特性│GK(jwg)│的倒数。