第五章：系统的稳定性

机械工程控制基础，如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失以后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则称这个系统是不稳定的。

第五章：系统的稳定性

• 5.1系统稳定性的初步概念
  • 稳定性的概念：如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失以后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则称这个系统是不稳定的。
  • 系统稳定的条件：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部或者说闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面。
• 5.2Routh稳定判据：代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布
  • 系统稳定的必要条件 设系统的特征方程为：
    • 各系数同号且不为零
  • 系统稳定的充要条件 设系统的特征方程为：
    • 则系统的Routh表为：
• 5.3Nyquist判据：几何判据，利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
  • 幅角原理：设有复变函数为：
    • s按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即顺时针包围原点N次。N=Z-P，Z为Ls内的F(s)的零点数， P为Ls内的F(s)的极点数。
  • F(s)的极点即为开环传递函数的极点 F(s)的零点即为闭环传递函数的极点
  • Nyquist判据：当ω由-∞到+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围点(-1，j0)P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。
  • 开环含有积分环节的Nyquist轨迹：当s沿小半圆从ω=0－变化到ω=0＋，θ角从-π/2变到π/2时，[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从vπ/2经0变到-vπ/2。
• 5.4Bode判据：几何判据，Nyquist判据的引申
  • Nyquist图与Bode图的对应关系
    • Nyquist图上的单位圆 → Bode图的0dB线，即对数幅频特性图的横轴； Nyquist图上的负实轴 → Bode图的-180°线，即对数相频特性图的横轴。
  • 穿 越：开环Nyquist轨迹在点(-1,j0)左侧穿过负实轴，即对数相频特性穿过-180°线 负穿越：随着ω的增加，开环Nyquist轨迹自下而上（相位减小）穿过负实轴 （对应于Bode图，对数相频特性自上而下穿过-180°线） 正穿越：随着ω的增加，开环Nyquist轨迹自上而下（相位增大）穿过负实轴 （对应于Bode图，对数相频特性自下而上穿过-180°线）
    • 正穿越（负穿越）一次，Nyquist轨迹逆时针（顺时针）包围点(-1,j0)一圈。 开环Nyquist轨迹逆时针包围(-1,j0)点的次数即正穿越和负穿越的次数之差。
  • Bode判据：当ω由0到+∞时，若开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180°线的正穿越与负穿越次数之差为P/2，则闭环系统稳定。
• 5.5系统的相对稳定性
  • 相位裕度：在ω=ωc时，GK(jω)的相频特性φ(ωc）距-180°线的相位差值。
  • 幅值裕度：在ω=ωg时，GK(jω)的幅频特性│GK(jωg)│的倒数。
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