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初中数学知识点
初中数学知识点的思维导图，内容有数与式、代数式、方程与不等式、几何基础、几何图形、统计与概率、初中函数。
编辑于2023-06-10 15:04:08 福建省- 相似推荐
- 大纲
初中数学知识点
数与式
整数
自然数、0、负整数
有理数
分数
小数
有限小数
循环小数
有理数的加减乘除法
实数
无理数
实数的比较
二次根式
二次根式的计算
二次根式的计算
化简有理数系数的二次根式
化简有理数系数的二次根式
平方差公式
(a+b)²=a²+2ab+b²
(ab)²=a²2ab+b²
二次根式
√a²=a
√ab=√a × √b
利用平方差公式化简二次根式
√(a²b²)=(a+b)(ab)
√((a+b)²4ab)=(a+b2√ab)(a+b+2√ab)
利用公式和化简法则化简二次根式
√(a±√b) = (√[(a±√b)²±4b]a)/2
(√a±√b)²=a±2√ab+b
二次根式的加减
二次根式的加减:
计算二次根式的加减：
将二次根式化简为最简形式；
将含有相同根式的加减合并或分开；
仔细审题，注意符号；
对于带有括号的二次根式，先将括号内的运算进行处理；
加减含有一次方根式的二次根式:
先将一次方根式化为二次根式后，再按上述方法计算；
特别地，如果含有√a±√b，可以用配方法得到 (√a±√b)²=a±2√ab+b；
加减含有理数的二次根式:
将有理数化为分数，并将二次根式通分后按照分母进行加减。
二次根式的乘除
二次根式的乘除
乘法
两个完全平方数的乘积
平方差公式
例子: (2√3 + 3√2) × (3√2 2√3)
一个完全平方数和一个平方数的乘积
例子: 2√5 × 4
除法
有理化分母
分子分母同乘以分母的共轭形式
例子: (4/3) ÷ (1 + √2/3)
完全平方数的分式
把根号下的数化成完全平方数的形式
例子: 5√2 ÷ √10
合并同类项
把分母有相同根式的合并
例子: (√3 + √7) ÷ (√3 √7)
化简无理数系数的二次根式
化简无理数系数的二次根式
二次根式定义
二次根式简介
定义：形如√a（a>0）的根式为二次根式。
二次根式的化简
化简方法
运用因式分解、代数运算、三角函数等方法进行化简。
化简步骤
将二次根式化简成最简形式。
化简示例
化简√20，√75等。
代数式
含有未知量
项、系数、次数
同类项、同类项间的加减运算
提公因式、分配律
因式分解
因式分解的定义
把一个代数式表示成若干个因式相乘的形式，这个操作就叫做因式分解。
基本概念
因子：能整除一个整数或代数式的整数或代数式叫做其因子。
公因子：两个或两个以上整数或代数式公有的因子叫做其中的公因子。
公倍数：两个或两个以上整数或代数式公有的倍数叫做其中的公倍数。
最大公因数：公因子中最大的一个数或代数式叫做它们的最大公因数。
最小公倍数：公倍数中最小的一个数或代数式叫做它们的最小公倍数。
整式因式分解
整式的因式分解要求将表达式拆分成若干对应系数和最高次数次幂的乘积，在其中确定一个最简公共因式的形式。
分解多项式的方法
公因式法：把每项因式中相同的因子提出来。
十字相乘法：主要分解含两项或三项的二次三次多项式。
辅助线法：多项式含有形如x2+bx+c的二次项时，可以使用辅助线法求因式。
分组分解：多项式含有4项或以上，可以将其分成两组，分别提取公因式后再进一步分解。
整式分解的应用
解方程：利用因式分解方法，将方程左右两边同乘以一快捷的分母，再运用已知条件解出未知数。
求导：运用因式分解后的各因子以及求导规律进行求导。
近似计算：利用整式分解，运用估算法则进行快捷近似。
注意事项
要熟悉各种因式分解的方法，记住各类多项式公式，掌握应用技巧。
注意边角条件，遇到二次三次多项式一定要辅助线法。
要多做练习，熟能生巧，获得熟练的操作能力。
代数式公式
代数式
代数式的定义
含义及表示方法
代数式的性质
分配律、结合律、交换律
将代数式化简的方法总结
提公因式、合并同类项、移项、化简分式等
一元一次方程
方程及解
解一元一次方程的步骤及方法
移项、消元、化简、检验
应用
实际问题中的应用举例
二元一次方程组
方程组及解
解二元一次方程组的步骤及方法
消元、代入
应用
实际问题中的应用举例
不等式
不等式的概念及表示方法
解不等式的步骤及方法
移项、乘除、注意正负号
不等式的图像表示及应用
线段图、区间表示法
平方公式和因式分解
平方公式
(a+b)^2、(ab)^2
因式分解的定义及方法
提公因式、配方法、分组等
应用
解二元一次方程组、化简代数式等
注意：以上仅为初中数学代数式公式部分知识点的大致大纲，不包括详细的解释和总结。
不含未知量
数字、常数项
方程与不等式
一元一次方程
一元一次方程
定义：形如 ax+b=c 的方程，其中 a,b,c 均为已知数，x 为未知数，且 a 不等于 0。
解方程的步骤：
去括号：将方程中的括号去掉，将括号前的符号分配到括号内的每一项。
合并同类项：将方程中的同类项合并。
移项：将方程中未知数所在的项移至一侧，把已知数移到另一侧。
化简：将方程两侧化简，得出未知数的解。
解法：
等式两侧同乘或同除一个常数
移项时，改变符号，将减号变为加号，将加号变为减号
分式方程转为整式方程
经典例题：
例题1：化简方程 3x+42x=6x+5
例题2：某数的8倍加上5等于27，求此数
例题3：化简方程 (2x+1)/3 +1 = 5
二元一次方程
定义：形如 ax+by=c 的方程，其中 a,b,c 均为已知数，x,y 为未知数，且 a、b 不同时为0。
解法：
几何法：将二元一次方程看成在平面直角坐标系中的一条直线，求出交点的坐标。
消元法：联立方程组，通过消去其中一个未知数，解出另一个未知数，再代入原方程，求出第二个未知数。
经典例题：
例题1：已知 2x+y=5，3xy=7，求 x,y 的值。
例题2：在平面直角坐标系中，直线 l1 过点 (1,2)，斜率为 2，直线 l2 过点 (3,4)，斜率为 1/2，求 l1 和 l2 的交点。
例题3：已知 a+b=4，ab=2，求 a,b 的值。
一元一次不等式
一元一次不等式解法
一元一次不等式解法
加减法
变形
将未知数移到一边，常数移到另一边
正负号相反
实例
2x 5 < 7
2x < 12
x < 6
乘除法
变形
乘除同一个正数，不等号方向不变
乘除同一个负数，不等号方向翻转
乘除不同的正负数，不等号方向翻转
实例
3x 5 > 10
3x > 15
x > 5
综合实例
2x 5 < 7 或 3x 5 > 10
2x < 12 或 3x > 15
x < 6 或 x > 5
实际应用
等式与不等式的性质
等式性质
等式性质指用一些公式来表达相等关系的性质，这是初中数学的重要组成部分。等式性质可以分为以下几种：
特殊的等式：
一个数等于它本身，可以表示为a=a
例如 3=3
0加上任何数等于这个数本身，可以表示为a+0=a
例如 5+0=5
同类项合并与消去：
同类项是具有相同变量因子的项，可以分别合并之后再进行简化，可以表示为ax+bx=(a+b)x
例如 3x+2x=(3+2)x=5x
同类项也可以消去其中一个，可以表示为axbx=(ab)x
例如 4x2x=(42)x=2x
分配律：
一个数乘以加法等于每个数分别乘以这个数再相加，可以表示为a(b+c)=ab+ac
例如 2(3+4)=2x3+2x4=6+8=14
乘法交换律和结合律：
乘法交换律指两个因数相乘的积不受因数的顺序影响，可以表示为a×b=b×a
例如 2×3=3×2
乘法结合律指三个因数相乘的积不受因数分组的顺序影响，可以表示为a×(b×c)=(a×b)×c
例如 2×(3×4)=(2×3)×4=24
思维导图如下：
等式性质
特殊的等式
a=a
例如 3=3
a+0=a
例如 5+0=5
同类项合并与消去
ax+bx=(a+b)x
例如 3x+2x=5x
axbx=(ab)x
例如 4x2x=2x
分配律
a(b+c)=ab+ac
例如 2(3+4)=2x3+2x4=14
乘法交换律和结合律
乘法交换律：a×b=b×a
例如 2×3=3×2
乘法结合律：a×(b×c)=(a×b)×c
例如 2×(3×4)=(2×3)×4=24
不等式性质
一次不等式
基本性质
变号性质
加减性质
移项法则
不等式的解法步骤
合并同类项
移项
除以系数
注意特殊情况
不等式求解的图像表示
二次不等式
二次不等式
概念：含有二次方项的不等式
解法1：化为标准型
将不等式移到一边，整理后得到类似 ax^2+bx+c<0 的式子
解法2：因式分解法
分解为 (ax+b)(cx+d)<0 的形式，利用零点和导数判断符号
解法3：配方法
将不等式化为 (x+p)^2+q<0 的形式，再利用二次式的非负性判断
注意事项
a>0时，解为两端开区间
a<0时，解为中间开区间
求解过程中注意化简及复合函数的处理
绝对值不等式
绝对值
数轴
正数在右侧，负数在左侧
数轴上绝对值表示距离
定义
绝对值是一个数与0之间的距离
绝对值的结果为非负数
符号表示
a
x=x
绝对值不等式
定义
带有绝对值符号的不等式
常用的形式为ax+b<c或ax+b>c
解法
分类讨论
若ax+b≥0
则ax+b=ax+b
ax+b<c化为ax+b<c或ax+b>c
解得：x<(b+c)/a或x>(cb)/a
若ax+b<0
则ax+b=(ax+b)=bax
ax+b<c化为bax<c或bax>c
解得：x<(b+c)/a或x>(bc)/a
两个不等式的关系
两个不等式的关系
两个不等式的关系
比较符号
大于符号
描述
大于符号是表示一个数比另一个数大的符号
例子
5 > 3
2 > 3
小于符号
描述
小于符号是表示一个数比另一个数小的符号
例子
3 < 5
3 < 2
大于等于符号
描述
大于等于符号是表示一个数不小于另一个数的符号
例子
4 ≥ 4
5 ≥ 3
小于等于符号
描述
小于等于符号是表示一个数不大于另一个数的符号
例子
4 ≤ 4
3 ≤ 5
一次不等式
不等式的基本形式
ax+b>0（a>0）、ax+b<0（a<0）
解一次不等式的方法
图像法、代数法
应用
等式的问题用不等式解决、多个条件的限制
一元一次不等式组
不等式组的基本形式
ax+by>c、ax+by<d
图像化解法
平面直角坐标系上的解法
代数求解
减法消元法、代入法、加法消元法
应用
带参数的不等式组、简单经济问题的模型
注意：本智能助手生成的思维导图仅供参考和提示使用，如有不完整或者错误信息，敬请谅解。
一元二次方程
一元二次方程解法
一元二次方程解法
公式法
利用求根公式解方程
(b±√(b²4ac))/2a
观察解的情况分类讨论
b²4ac>0 有两个不相等实数根
b²4ac=0 有一个重根
b²4ac<0 有两个共轭复数根
配方法
根据(a±b)²=a²±2ab+b²的公式进行变形
通过凑平方的方法消去一次项
将一元二次方程变成完全平方形式，即(x±a)²=b
因式分解法
将一元二次方程变形后，通过因式分解将方程化简
当a=1时，形如x²+bx+c=0的一元二次方程可使用如下方法进行因式分解
x²+bx+c=(x+p)(x+q)
其中p和q满足p+q=b，pq=c
十字相乘法
将一元二次方程变形后，利用十字相乘法将方程化简
当形如ax²+bx+c=0时，可以利用十字相乘法将其化简为(x+d)(ex+f)=0的形式
解方程(x+d)(ex+f) = 0, x=d或x=f/e
一元二次不等式
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法
一元二次不等式
形如ax^2+bx+c<0的不等式
解的范围表示为一条实数轴上的区间
判别式
b^24ac
判断解的情况，为正数时有两个实数解，为零时有一个重根解，为负数时无实数解
解法一：图像法
绘制y=ax^2+bx+c的图像，并找到函数图像在x轴下方的区间
对应的解即为一元二次不等式的解
解法二：代数法
变形为ax^2+bx+c>0的形式
利用求解一元二次方程的公式求出两个实根
根据实数轴和解的位置关系确定一元二次不等式的解
几何基础
基本概念
点、线、面、角、边、相似
相关定理
三角形内角和定理
直角三角形的勾股定理
中线定理、垂线定理、角平分线定理
中线定理
三角形中线定理：连接三角形任意两边中点的线段，即为三角形任意一条中线，且三条中线交于一点，且该交点距离三角形三顶点的距离相等。
中线定理的应用：由三角形中线定理可推导出许多三角形面积、周长、高等数学公式，例如：对于任意三角形，其面积等于三条中线聚点的四分之三。
中线定理
作用
1.将三角形的中线转化为边长的等式
2.求出三角形中线的长度
求中线长度的方法
方法一：应用中位线定理
中位线定理是指三角形中位线的长度等于其对边边长的一半
利用中位线定理可以求解三角形中任意中位线的长度
方法二：三角形底边中线的长度
底边中线是指三角形底边上的中线
底边中线长度等于底边长度的一半
练习题
1.已知三角形的两条边长和中线长度，求第三条边长
2.已知三角形的顶点和中线长度，求另外两个顶点的坐标
其他常见定理
1.勾股定理
2.平行四边形定理
3.相似定理
4.等腰三角形定理
5.等角定理
垂线定理
垂线定理的定义：在平面几何中，如果一条直线垂直于另一条直线，那么它们所构成的两个角互为直角。
垂线定理的分类：根据垂线的位置不同，可以将垂线定理分为三类，即角平分线定理、高线定理和垂心定理。
垂线定理的应用：由垂线定理可推导出许多几何形状的面积、周长、高等数学公式，例如：对于任意直角三角形，其斜边上的中线等于斜边的一半。
定义：垂线定理是平面几何中的一个定理，指的是如果一条直线与一条直角相交，那么所分出的两个角其中一个是直角。
举例：如一根垂直的木棍斜靠在地面上，与地面成直角，则顶部所指向的方向是竖直方向；
扩展：垂线是指与另一条直线或者平面相交于直角的线，也叫做垂足；
应用：可以用垂线定理来判断某些几何图形的属性，如判断三角形是否为直角三角形；
垂足线的性质：
垂足所在的直线是不平行于被垂直线所在的直线的；
两条互相垂直的直线的交点必须是其中一条线所在平面内；
垂线定理的逆命题为：如果两个角其中一个为直角，则这条直线与另一条直线相交于一个直角。
角平分线定理
角平分线定理的定义：如果一条直线平分一个角且过其顶点，则该直线为角的平分线。
角平分线定理的性质：在一个三角形中，角平分线将对角线依比分为两部分。
角平分线定理的应用：由角平分线定理可推导出许多角的大小、三角形的面积等高等数学公式，例如：对于任意三角形，三个角的平分线交于一个点，即三角形的内心。
角平分线定理是指，角的平分线上所截的边，将该角分成两个相等的角。
角平分线定理的应用：
利用角平分线定理可以解决一些角度和边长的问题，例如：
1. 求出平面上某个角度的大小；
2. 求出三角形中某个角度的大小，从而推出其余两个角度的大小；
3. 求出三角形中一条边所对应的角度大小；
4. 证明两条线段垂直。
角平分线定理的证明：
可以利用相似三角形和角的定义来证明角平分线定理，例如：
在三角形ABC中，假设角BAC的平分线交BC边于点D，则可得出AD/CD=AB/BC，由此可推出AD/BD=AC/BC。
又因为三角形ABD与三角形ACD相似，所以∠ABD=∠ACD。因此，角BAC的平分线上所截的边，将该角分成两个相等的角。
中位线
中位数的概念及计算方法
定义：将数列从小到大排列，中间的那个数称为中位数
计算方法：1. 若数列元素个数为奇数，中位数为中间的数； 2. 若数列元素个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均数
中位数的应用： 1. 描述数据的集中趋势；2. 用于对称性判断
中位线的概念及绘制方法
定义：将平面内的点按横坐标从小到大排序，连接中间点与中位数的直线即为中位线
绘制方法：1. 找出数列的中位数，作为中位线的纵坐标； 2. 将点按横坐标从小到大排序，取中间值作为中位线的横坐标
中位线的应用：1. 用于观察数据分布的偏态情况； 2. 用来比较两组数据的集中趋势
几何图形
四边形
平行四边形
矩形、正方形、菱形、梯形、矩形、平行四边形的面积
三角形
同边三角形
等腰三角形、等边三角形、直角三角形
三角形内心、垂心、重心、外心
相似三角形
圆
圆的概念、直径、弦、弧
弧长、圆周角、圆的面积
勾股定理
勾股定理
直角三角形与斜边、直角边和对角
直角三角形定义为一个角为90度的三角形
斜边为直角三角形的最长边
直角边为直角三角形的与直角相邻的两条边
对角为非直角边
勾股定理的定义和简介
勾股定理（也称毕达哥拉斯定理）是描述直角三角形三边关系的定理
勾股定理的形式为a² + b² = c²，其中c为直角三角形的斜边，a、b分别为直角三角形的两条直角边
勾股定理可以用于解决直角三角形的各种问题
勾股定理的应用范围
勾股定理在几何学、三角学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用
勾股定理可以用于测量不规则物体的间距、解决建筑学问题、计算阀门和管道的流量等
勾股定理也常被用于计算航空、火箭和导弹的飞行轨迹
图形相似证明
图形相似证明
相似形状定义
全等三角形定义
相似三角形定义
相似形状特征
边长成比例
内角相等
相似形状证明方法
相似形状证明方法
AA相似证明方法
两角相等证明
对应边成比例证明
角边比相等证明
SSS相似证明方法
三边成比例证明
三边对应角相等证明
SAS相似证明方法
两边成比例，夹角相等证明
一边成比例，两角相等证明
相似三角形性质证明
什么是相似三角形
三角形的定义及特性
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
相似三角形的证明
AA判定法
意义及证明步骤
定比分点法
意义及证明步骤
过顶点作平行线
意义及证明步骤
相似三角形定理的应用
比例问题
测量问题
几何问题
相似形状应用
计算尺寸
几何问题求解
直线段的计算
三角形和四边形中的应用
图形全等证明
图形全等证明
定义全等
两个图形在大小和形状上完全相同
全等判定
SSS
三边分别相等的两个三角形全等
SAS
两边和一个夹角相等的两个三角形全等
ASA
一个角和两边分别相等的两个三角形全等
RHS
直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等
SAA
两个角和一个边分别相等的两个三角形全等
全等证明
证明三角形全等
共边
两个三角形有一边分别相等，则其余两边和角也相等
共顶点
两个三角形有一个角相等，则两个角和夹角边分别相等
直线对称
两个三角形关于一条直线对称
中位线
两个三角形的中位线分别相等，且夹角边也相等
统计与概率
统计
统计调查、频率、频率分布表、直方图、带分组的数据
平均数、中位数、众数
方差
方差是描述数据分布离散程度的一种统计量。
方差的符号一般为σ²。
对于一组数据，它的方差计算公式是 （每个数与平均数的差的平方和）/（数据个数 1）。
方差表示的是离散程度的平均水平，值越大表示离散程度越大。
方差还有一种计算方式，叫做样本方差，公式是（每个数与平均数的差的平方和）/（数据个数）。
方差的单位是原数据单位的平方。
方差的计算需要用到一些前提知识。
计算方差前需要求出数据的平均数。
平均数的计算公式是 所有数据之和 / 数据个数。
平均数能反映数据中的集中趋势。
方差还需要涉及到样本。
样本是从总体中随机抽取的一部分数据。
样本的大小要具有代表性，即不能过大也不能过小。
样本统计量能够反映总体统计量的情况。
方差的应用非常广泛。
在科学研究中，方差被用来评估实验结果的可靠性，分析多组数据的差异性。
在财务管理中，方差被用来评估投资风险，分析股票价值的变化情况。
在工业生产中，方差被用来评估产品质量的稳定性，分析生产过程的变异性。
概率
概率是研究随机事件发生可能性的学科。
随机事件是指在相同条件下可能发生也可能不发生的事件。
例如抛硬币时出现正面或反面的事件。
例如掷骰子时出现1、2、3、4、5或6的事件。
随机事件的样本空间是所有可能结果的集合。
例如抛一次硬币的样本空间为{正面，反面}。
例如掷一次骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
概率能够量化随机事件发生的可能性。
概率的值范围是0到1，包含0和1。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
0.5表示事件发生可能性相等。
事件发生的概率可以用事件发生的次数除以样本空间的大小来计算。
例如抛一次硬币出现正面的概率是1/2。
例如掷一次骰子出现偶数点数的概率是3/6或1/2。
概率的几何意义是随机事件发生的频率，在大量重复试验中趋近于概率值。
概率的计算（公式）
发生事件A的概率
某个结果出现的次数 / 事件发生的总次数
（例如：掷一次骰子，出现1的概率为1/6）
有理数表示
分子 / （分子 + 分母）
（例如：出现1的概率表示为 1 /（1+5）= 1/6）
互斥事件
发生事件A或B的概率
发生事件A的概率 + 发生事件B的概率
（例如：在掷一次骰子中，出现1或3的概率为1/6+1/6 = 1/3）
至少发生一个事件的概率
发生事件A的概率 + 发生事件B的概率 发生事件A和B的概率
（例如：掷两次骰子，出现至少一个1的概率为11/36）
独立事件
发生事件A和B的概率
发生事件A的概率 * 发生事件B的概率
（例如：掷两次骰子，先后出现1和2的概率为1/36）
对立事件的定义及公式
对立事件是指对一个事件的描述，其结果是不可能同时出现的互补事件。碰巧有些情况可以同时发生，但是这种情况非常罕见。
对立事件可以用概率的方式来描述。如果我们知道一个事件发生的概率，那么我们就可以用它的对立事件的概率来计算它不会发生的概率。这样，我们就可以得到它们俩的总概率为1。
对于两个对立事件A和其对立事件A'，它们的概率分别为P(A)和P(A')。它们的和为1。即P(A) + P(A') =1。
在概率的计算中，我们使用这个公式来进行推导和运算。这个公式可以用来计算两个事件是否对立，以及它们的概率。
对立事件还有许多应用，尤其是在游戏和赌博中。了解对立事件非常重要，能够帮助你更好地理解概率和统计，同时也能提升你的胜率。
简短主题:
对立事件及其公式
示例:
什么是对立事件？
对立事件是什么？
对立事件的定义是什么？
对立事件是指对一个事件的描述，其结果是不可能同时出现的互补事件。
如何用概率描述对立事件？
对立事件的概率可以用怎样的方式描述？
对立事件可以用概率的方式来描述。
对立事件的概率公式是什么？
如何计算对立事件的概率？
对于两个对立事件A和其对立事件A'，它们的概率分别为P(A)和P(A')。它们的和为1。即P(A) + P(A') =1。
对立事件的应用:
对立事件在什么领域中应用广泛？
对立事件的应用范围有哪些？
了解对立事件有什么好处？
对立事件的了解在哪些方面有帮助？
初中函数
初中函数
函数的定义
函数对应关系的定义
自变量和因变量的概念
函数的表示方法
函数图像
函数图像
意义
表示函数的变化情况
可以直观地看出函数的特征
常见类型
一次函数
斜率为正/负/零的特点
图像在直角坐标系中的表示方式
二次函数
开口向上/下的特点
零点/顶点的含义
绝对值函数
值域与定义域的关系
对称轴的位置
正弦函数和余弦函数
周期/振幅的含义
以图像中的交点或最高点为例解释定义域、值域和奇偶性
如何绘制函数图像
确定定义域、值域、特征点
按特征点连成曲线
补全图像：确定图像的对称性、区间的增减性、图像在坐标轴上的截距等
函数关系式
函数表格
函数的性质
函数的性质
奇偶性
奇函数：f(x)=f(x)
例子：y=x^3
偶函数：f(x)=f(x)
例子：y=x^2
既不奇也不偶的函数：f(x)≠±f(x)
例子：y=x
单调性
单调递增
定义：f(x)<=f(y) (x<=y)
例子：y=x
单调递减
定义：f(x)>=f(y) (x<=y)
例子：y=x
周期性
周期函数：f(x+T)=f(x) (T>0)
例子：y=sin(x)
非周期函数：f(x+T)≠f(x)
例子：y=x
增减性
上凸函数
定义：f`(x)>0 （且f``(x)>0）
例子：y=x^2
下凸函数
定义：f`(x)<0 （且f``(x)>0）
例子：y=x^2
凸函数
定义：f`(x)递增 （且f``(x)>=0）
例子：y=x^3
上凹函数
定义：f`(x)>0 （且f``(x)<0）
例子：y=sqrt(x)
下凹函数
定义：f`(x)<0 （且f``(x)<0）
例子：y=sqrt(x)
凹函数
定义：f`(x)递减 （且f``(x)<=0）
例子：y=x^(1/3)
函数的应用
线性函数
线性函数
基本概念
定义：y=kx+b
解释：k表示斜率，即x每增加1时，y增加的量；b表示截距，即x=0时，y的值
举例：y=2x+3就是一条斜率为2、截距为3的线性函数图像
直线的性质
过定点：当x=某个数值时，y的值就可以算出来
平行、垂直关系：斜率相同的直线平行，斜率的乘积为1的直线垂直
截距的影响：截距为正，直线图像在y轴上方，截距为负，直线图像在y轴下方
判定图像：将两个已知点连线即可得到直线图像
求解问题
求斜率：两个点的纵向变化量与横向变化量之比
求截距：y=kx+b中已知k和一点的坐标，代入可求出b
求零点：x使y=0时的解，即x=b/k
应用领域
货币兑换：利用汇率计算不同货币之间的换算
历史走势：比较不同年份某项指标的变化趋势
空间关系：计算两个城市之间的物理距离与直线距离
其他数学概念
代数式
定义：由数字、字母和运算符组成的式子
解释：如2x+5就是一个代数式，x和5是系数，2和加号是运算符
函数关系
定义：一组数字与另一组数字之间的关系
解释：如y=x+1就是一个函数关系，x是自变量，y是因变量
图形的几何性质
定义：图形的形状、大小、位置等性质
解释：如长方形的面积是长乘以宽，平行四边形的对边平行且相等
统计学概念
定义：用数学方法对数据进行分析和处理
解释：如平均数、中位数、众数等
平方函数
定义和特点:
平方函数的定义和一般式;
平方函数的图像及性质;
基础知识:
平移、伸缩变换对平方函数图像的影响;
平方函数与坐标系的交点;
解析式和解题:
一次函数和平方函数的图像比较;
求解平方函数解析式的方法;
平方函数应用问题的解题方法;
综合练习:
包含平方函数的综合练习题目;
综合练习题解析与答案。
反比例函数
定义：y=k/x
k为比例系数，x,y均是正比例变量
特点：xy的乘积始终等于比例系数k
当x增大，y减小；x减小，y增大
解决反比例函数问题的关键
求出比例系数k
按照y=k/x的形式，列方程求解未知量
应用
直接及间接反比例函数
直接：y随x增大而增大
间接：y随x增大而减小
反比例函数综合应用
比例变量的选择和转化
组合比例关系式及数据分析
反比例函数的图像及其性质
函数综合应用
函数概念：
函数定义；
数组与函数；
数组定义；
函数定义与数组的区别；
函数分类；
数值函数；
几何函数；
特殊函数；
函数运算：
函数运算基本规律；
函数和与函数积；
线性函数的运算；
函数的复合运算；
复合函数的定义；
复合函数的计算方法；
复合函数的性质；
根据函数图象确定函数；
函数的单调性；
函数的奇偶性；
函数应用：
函数的应用；
函数与方程的关系；
函数的最值；
函数的零点；
零点定义；
寻找零点的方法；
函数的周期性与对称性；
函数的综合应用；
函数模型；
函数图象的应用；
函数在实际问题中的应用；
直线的斜率
直线的斜率是直线上两点间的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
以坐标系中两点A(x1,y1)、B(x2,y2)为例，它们之间的斜率为(y2y1)/(x2x1)。
斜率为正数，则表示直线向右上方倾斜；斜率为负数，则表示直线向右下方倾斜。
斜率为0表示直线水平，无斜率表示直线垂直。
斜率相等的两条直线是平行的，斜率互为倒数的两条直线是垂直的。
求斜率应注意横坐标之差不能为0，否则斜率不存在。
知道两点坐标后，可以通过计算斜率求出此直线的倾斜程度，帮助我们更好的理解直线的特性。
平面直角坐标系
平面直角坐标系
直角坐标系的定义和特点
坐标轴的概念和表示方法
坐标系的象限及其特征
坐标的表示和应用
点的坐标表示方法
坐标的运算法则
点的位置关系及其判定方法
图形的坐标表示
点、线、线段、射线、角的坐标表示
矩形、平行四边形、正方形和三角形的坐标表示
相关公式和定理
向量的坐标表示
向量的概念和表示方法
向量的加减法和数量积
向量的模和方向角及其意义
距离公式和中点公式
距离公式和中点公式
距离公式
概述
表示两点间距离的公式
公式
根号下(x2x1)²+(y2y1)²
说明
x1,y1和x2,y2为两点坐标
中点公式
概述
求两点连线上的中点坐标的公式
公式
((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
说明
x1,y1和x2,y2为两点坐标
斜率公式和直线方程
斜率公式和直线方程
直线方程的一般式和斜截式
一般式指示截距和斜率
y = kx + b
斜截式指示截距和斜率
y = mx + n
通过点斜式导出直线方程
y y1 = m(x x1)
求斜率
通过两点的坐标求解斜率
k = (y2 y1) / (x2 x1)
通过截距求解斜率
k = b / a
平行和垂直线的斜率关系
平行线的斜率相等
垂直线的斜率互为相反数
用点斜式求直线方程
利用已知点和斜率求解
y y1 = k(x x1)
验证直线方程
将求出的坐标带入方程验证是否成立
y = 2x + 3, 验证(1,5)是否在直线上
利用直线方程求解直线交点
两个直线联立方程求解
y = 2x + 3 和 y = 3x + 9 的交点为(2,7)
正交条件和条件方程
正交条件和方程是许多复杂数学问题的核心。正交条件指的是两个或多个量之间相互独立的条件。当这些条件同时满足时，我们可以使用条件方程来解决问题。
正交条件:
正交条件是一组与另一组或其他组无关的条件。这些条件可以相互作用，但互相独立。正交条件广泛应用于几何、物理学和工程学等领域。
例如，如果我们研究三角形的性质，那么正交条件可能是角度、边长等。虽然这些条件有可能相互影响，但它们是独立的条件。
正交条件也可以应用于时间序列、信号分析等领域中。在这些领域中，正交条件有助于确定一组基础中最小的基础集合。
条件方程:
条件方程是解决特定问题所需满足的条件。它们是由正交条件建立起来的，通过这些条件，我们能够得出一个或多个解决问题的方程。
例如，如果我们要解决一个包含三角形边长、角度和面积的问题，那么条件方程可以是海龙公式，即a² + b² = c²。
条件方程也可以应用于经济学、化学等领域。在这些领域中，条件方程有助于确定求解问题的变量关系。
综上所述，正交条件和条件方程是解决数学问题的重要工具。通过这些工具，我们能够更好地理解和解决复杂的数学问题。
应用题和综合题
二元一次方程组的解
坐标系解法和代入法
相消法和减法法
几何学证明题的解法
利用坐标系解决平面几何问题
运用性质和定理进行证明或推理
联立方程组解决几何问题
三角函数
三角函数
正弦、余弦、正切的定义和计算
正弦的定义和计算方法
余弦的定义和计算方法
正切的定义和计算方法
基本性质
正弦、余弦、正切的周期性
正弦、余弦的对称性
正弦、余弦、正切的单调性
角度制和弧度制的转换
角度和弧度的定义和关系
角度制和弧度制的互相转换
常用三角函数值表
0度、30度、45度、60度、90度角的三角函数值
应用
应用实例：三角函数在直角三角形中的应用
应用实例：三角函数在建筑工程中的应用
应用实例：三角函数在天文学、地理学中的应用