点、直线、平面间的位置关系

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点、直线、平面间的位置关系

• 公理
  • 结合公理
    • 如果直线上两个点在一个平面上，则这个直线在平面上
    • 如果两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条通过此点的公共直线
    • 不共线三点确定一个平面
      • 一条直线和直线外一点确定一个平面
      • 两条相交直线确定一个平面
      • 两条平行直线确定一个平面
  • 平行公理
    • 在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行
• 直线与直线
  • 平行
    • 定理1：平行于同一条直线的两条直线互相平行
    • 定理2：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则相等或互补
  • 相交
    • 子主题
  • 异面
    • 夹角范围在（0，pi/2]
• 直线与平面
  • 在平面上
  • 平行
    • 定理3:(判定)平面外一直线和平面内一直线平行
    • 定理4:(性质)如果一条直线和平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线与交线平行
      • 4.1 如果两条平行直线中的一条与平面平行，则另一条也与此平面平行
      • 4.2 如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与两个平面的交线平行
  • 垂直
    • 定理5:(判定)如果一条直线垂直于平面上两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面
    • 定理6:若两条平行线中的一条垂直与一个平面，则另一条也与这个平面垂直
    • 引理：过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直
    • 定理7:( 性质)同垂直于一个平面的两条直线平行
    • 定理8:从平面外一点向一个平面所引的垂线段和斜线段中
      • 1.射影相等，斜线相等；射影较长，斜线较长
      • 2.斜线相等，摄影相等；斜线较长，射影较长
      • 3.垂线段比任何一条斜线段都短
    • 定理9:(三垂线定理)平面内一条直线，若垂直于斜线的射影，则垂直于斜线
    • 定理10:(逆定理)平面内一条直线，若垂直于斜线，则垂直于其射影
    • 定理11:(三余弦定理)∠POD=∠POQ·∠QOD
    • 定理12:平面的斜线和它射影所成的角，是这条斜线和平面内任意一条直线所成角的最小角（直线与平面所称的角）
• 平面与平面
  • 平行
  • 相交
• 证明
  • 直线平行直线
    • 都平行于另外一条直线
    • 平行于平面的直线和交线
  • 直线垂直直线
    • 直线垂直于平面，则直线垂直于平面上任意直线
    • 三垂线定理及逆定理
  • 平面平行平面
  • 平面垂直平面
• 三视图
  • 长对正，高平齐，宽相等
• 直观图
  • 平行关系不变，y轴上的长度变为原来一半，角度变为原来一半