导图社区 八年级下册数学平行四边形
八年级下册数学平行四边形，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，所有特殊四边形的性质都不需要背通，脑海里想到此图形，随之性质（内角、边、对角线）就能想出来。
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平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
表示
平行四边形用符号“▱”表示；平行四边形ABCD 记作〞▱ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
基本元素
边
对边
2对
邻边
角
对角
邻角
4对
对角线
2条
性质
边：平行四边形的对边平行且相等
角：平行四边形的对角相等，邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
应用
可以证明线段的相等关系或倍半关系
利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决
判定
（定义）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（边）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（边）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（角）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（对角线）对角线互相平分的四边形是平行四边形
这些判定方法即可作为判定平行四边形的依据，也可作为画“平行四边形”的依据
三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
中位线与中线
中线是顶点与对边中点的连线
中位线是中点与中点的连线
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边
三角形的中位线等于第三边的一半
三角形有三条中位线，每一条与第三 边都有相应的位置关系与数量关系
三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的1/2，每个小三角形的面积为原三角形面积的1/4
两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线上的距离
距离是指垂线段的长度，是正值
两条平行线之间的距离处处相等
两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的
都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度
平行四边形面积
S=底 x 高
等底等高的平行四边形面积相等
特殊的平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形
⚠️
两个要素
①是平行四边形
②有一个角是直角
矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件
边：对边平行且相等
角：矩形的四个角都是直角
对角线：矩形的对角线互相平分且相等
直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
⚠️：性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用
（定义）有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
⚠️ 在平行四边形的前提下，加上”一个角是直 角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形
面积
S=长x宽
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形
②有一组邻边相等
菱形是一个平行四边形，然后增加一组邻边相等这个特殊条件
对边平行
四条边都相等
对角相等，邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直且平分
菱形的每一条对角线平分一组内角
（定义）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
菱形的面积
（1）底x高
（2）两条对角线长度乘积的一半
菱形的面积等于它的对角线之积的一半
四个小直角三角形面积之和
一个小直角三角形面积的4倍
实际上，任何一个对角线互相垂直的四 边形的面积都是两条对角线乘积的一半
正方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是 有一个角是直角的特殊的菱形。它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质
（边）
四条边均相等
（角）
四个角都是直角
（对角线）
相等、垂直、相互平分
每一组对角线平分一组对角
⚠️思路
先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）
先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）
(定义）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
（边）有一组邻边相等的矩形是平行四边形
（角）有一个角是直角的菱形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
关系
顺次连接（特殊） 平行四边形 各边中点得到的四边形的形状
顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 四边形—> 平行四边形
顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 平行四边形—> 平行四边形
顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 菱形—> 矩形
顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 矩形—> 菱形
顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形 正方形—> 正方形
等腰梯形—> 菱形
新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成
若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形
若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形
若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形
综合
所有特殊四边形的性质都不需要背通，脑海里想到此图形，随之性质（内角、边、对角线）就能想出来
定义一般是学术界为了规范而设定的，记一下即可
各种特殊四边形的判定方法是层层递进的关系。 判断是否为特殊四边形时，用到的条件，在脑海里浮现出一个能活动的四边形，想象出其能够活动的形状，如果条件已经锁定了四边形的形状，那么这些用到的条件就是其判定条件
研究思路和方向
通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明它们
做题思想方法
转化思维
将复杂的问题转化为简单的问题 将阳生的问题转化为熟悉的问题，即绕路走
方程思维
对于一个问题，常规的思路是重复 条件—判定—性质（条件）的过程，而有些问题可以使用方程来解决，即构建方程或者方程组来分析解决问题
数形结合思维
数形结合思维就是，先根据题目构建出一个初步的、未定量的大概图形，再结合数字定量地构建确切的图形，再结合具体问题来分析
分类讨论思维
反证法
如果对于某一命题是否正确产生疑惑，那么可以在结合题目条件后，假设结论是正确的，再想方设法证明其错误，若从多方面（角、边、对角线）条件都无法证明其错误，那么结论就是正确的。 多用于选择题，用来解决较有难度的问题。
题型
菱形的性质与判定的综合运用
菱形证明中的辅助线作法
菱形中的折叠问题
菱形中的动点问题
矩形的性质与判定的综合运用
矩形与菱形的综合运用
矩形中的动点问题
正方形的性质与判定的综合应用
特殊平行四边形的综合运用
正方形的旋转问题
正方形中的问题探究
